新彈簧驗證胡克定律實驗佯謬的討論

張鵬展

摘 要：對“探究彈簧的伸長量與彈力的關系”實驗中出現一個不符合預期規律的問題進行了討論和思考，探討了驗證胡克定律實驗時容易出現佯謬的一個重要原因。

關鍵詞：彈簧；胡克定律；實驗；佯謬；思維定勢

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）5-0056-4

1 問題的發現

一天，一位同事告訴筆者他在實驗教學中出現的一個問題，就是他帶學生做完“探究彈簧的伸長量與彈力的關系”這個分組實驗后，在用圖像法處理數據時，發現根據實驗所測的6組數據畫出的F-x圖像根本不是一條過原點的直線，而是彎曲的非線性關系，而且這個問題不是一兩組學生出現，而是大部分的學生都出現了這種現象。帶著疑惑，筆者親自去實驗室做了這個以前做過多次的實驗——驗證胡克定律（Hooke's low）。

到了實驗室，筆者發現彈簧幾乎都換成才購買到的新彈簧。筆者在安裝好裝置并在彈簧下端掛第一個50克的鉤碼后，結果發現彈簧沒怎么伸長！再掛第二個，彈簧只是伸長一點點！當筆者掛上第三個鉤碼時，這時彈簧才有較為明顯的伸長！最終筆者做完實驗，得到實驗數據（如表1），用Excel表格處理數據描出數據點（如圖1）。顯然用這樣的實驗數據畫出的F-x圖像肯定不是一條直線！難道是本實驗室的彈簧的伸長與彈力不再成正比？胡克定律在這里出問題了？不可能！

帶著更深的疑惑，筆者又做了一次實驗。這次筆者一開始就掛一個200克的鉤碼，然后再逐個增掛50克的鉤碼，以便獲得較多的數據。實驗現象是剛掛上200克的鉤碼時，彈簧就有明顯的伸長。接著每掛一個50克的鉤碼，彈簧都會有較明顯的伸長。最終筆者得到了7組數據（如表2），并把數據輸入Excel表格來畫F-x圖像（如圖2），發現這7組數據很好地符合線性關系，但是畫出的直線卻明顯不經過原點！

最后，筆者用以前的舊彈簧重做實驗，得到的數據如表3，描出的F-x圖像如圖3，從圖3的直線對應的函數來看，直線是近似經過原點的！該直線之所以會有一個小小的負截距，是因為我們測量彈簧的彈力大小時，沒有考慮彈簧自身的重力。當然，我們在用Excel處理數據添加趨勢線時，如果設置截距為零，那么函數表達式為y = 0.2648x，而且R2=0.9999，而舍去不掛鉤碼時彈力為零、伸長量為零這組數據，函數表達式為y= 0.2663x-0.0123，而且R2 =0.9999，證明這些實驗數據還是符合正比例函數關系的，學生比較容易得到彈簧的伸長量與彈力是成正比的關系。這里的圖像從略。

2 問題的分析與進展

2.1 F-x圖像呈現非線性的原因分析

筆者把以前做實驗的舊彈簧和現在的新彈簧拿來比較和分析，終于發現了問題之所在！以前的舊彈簧在掛鉤碼之前，做成彈簧的每一圈鋼絲之間已經有一定的距離，也就是說這個彈簧在一定程度上是可以壓縮的，這樣的彈簧掛一個50克的鉤碼就會有明顯的伸長。而這次做實驗用的新彈簧卻是每一圈的鋼絲緊密地靠在一起的！這樣的彈簧是不能壓縮的，只可以拉伸，而且需要一定的拉力才能拉開。新舊彈簧對比如圖4。

因此，如果用50克的鉤碼一個一個加掛在新彈簧下端，則前2個至3個50克的鉤碼不能使彈簧有明顯伸長，即彈簧還沒有正常伸長，這樣得到的實驗數據和后面彈簧已經正常伸長的實驗數據連在一起不可能是線性的。實驗室里提供的大部分都是新彈簧，只有少數是舊彈簧，所以筆者的同事才會碰到班級大部分學生出現圖線為非線性的問題。

新彈簧在外界拉力較小和較大時的伸長情況不同，使得彈簧彈力的大小不一定等于所掛鉤碼的重力大小，這是F-x圖像呈現非線性的原因。

2.2 圖2中的直線明顯不經過原點的原因分析

筆者對比表1和表2中的數據可以發現，排除了偶然誤差的因素，表2中直接從200克的鉤碼開始掛得到的幾組數據，實際上就是表1中鉤碼掛到200克鉤碼之后的幾組數據。這就說明即使是用50克的鉤碼一個一個加掛在新彈簧下端，在彈簧正常伸長后的實驗數據是很好地符合線性關系，只是后面的幾組數據連起來的直線卻明顯不經過原點，這顯然不是彈簧自身重力的影響。

筆者于是分析了一下圖2中的F-x圖像：如果從圖線與彈力F軸的交點坐標（0 cm，F0）來看，意思是當求出的形變量為零時，即彈簧還沒開始掛鉤碼時，彈簧的彈力F0卻不是零，彈力的大小大約有1.5 N。如果把圖線延長到與x軸相交，交點坐標為（0 N，-x1 cm），也就是彈簧的彈力為零時，彈簧應該有一個負的伸長量，負的伸長量就是縮短量，也就是說，這個新彈簧在不產生彈力時本應該要收縮一段長度，只是組成彈簧的每一圈鋼絲之間緊緊地靠在一起，不能再收縮罷了。所以，筆者認為肉眼看到新彈簧的長度應該是它伸長狀態的長度，而不是原長。此時，它雖然不受外界的拉力作用，卻產生了一個沿彈簧向內收縮的彈力，正是這個彈力使組成彈簧的每一圈鋼絲緊緊地靠在一起，最后由于各條鋼絲之間相互擠壓產生微小形變，所以向內收縮的彈力與微小形變產生的沿彈簧向外的彈力達到平衡，也就無法再收縮了。

因此，對于這種新彈簧在不受外部拉力時，它已經產生向內收縮的彈力了，說明它此時的長度并不是原長，要把彈簧沒有產生彈力時的長度（對新彈簧是看不到也測不到的）作為原長，用掛上200克及以上的鉤碼時的彈簧長度減去沒有產生彈力時的長度（即原長）來求出伸長量，這樣實驗描出的圖線才會通過原點。而如果把新彈簧不受外力時（即不掛鉤碼）的長度想當然地作為原長，我們就犯錯誤了。因此，在表2中筆者在實驗中求伸長量時用掛了鉤碼后的指針刻度減去最初不掛鉤碼時的指針刻度，所求的這個“伸長量”不是彈簧的伸長量，只能稱為彈簧兩次伸長狀態下的長度改變量，要加上上述分析中的x1 cm才是彈簧的伸長量！如果這樣，那每組數據對應的彈簧伸長量都應該比所求的伸長量大x1 cm，這樣組成的7組數據連起來的直線就應該和用舊彈簧做實驗一樣幾乎經過原點了。

所以，圖2中的直線不經過原點的原因其實就是彈簧原長的含義沒搞清楚，想當然地以為彈簧不掛鉤碼時的長度就是原長，即錯誤地把彈簧某一個伸長狀態下的長度作為原長，然后用掛上鉤碼后的長度減去不掛時的長度來求彈簧的伸長量，用這樣的實驗數據畫出的直線自然是不經過原點了。即使是舊的彈簧，把最初某一伸長狀態下的長度作為“原長”，用掛上鉤碼后的彈簧長度減去所謂的“原長”，這樣的實驗結果畫出的圖像就和圖2一樣不會經過原點！

基于上述分析，筆者覺得要徹底解決實驗中出現的這個佯謬，以免今后教學中出現困惑，應該要理清彈簧原長的定義及彈簧伸長量的計算方法，并且要反思一下本實驗中彈簧彈力大小的測量方法及原點這組數據的合理性。

3 問題的解決

3.1 關于彈簧原長的定義及彈簧伸長量的計算

胡克定律的內容里并沒有對彈簧的原長概念進行表述，但從定律的表述可以明確知道：彈簧只要有伸長，其伸長量與彈簧的彈力大小成正比。這里的伸長量，當然是相對原長而言的。但是，彈簧原長的定義是什么？是“彈簧不受任何外力時的長度”，還是“彈簧不產生任何彈力時的長度”呢？筆者覺得彈簧原長的定義應是后者，即“彈簧不產生任何彈力時的長度”會比較科學。

明白了原長的定義，那么在計算新彈簧的伸長量時，應該是在彈簧正常伸長后，記下每次掛鉤碼后的長度Ln，用它來減去看不到的原長L0，即彈簧伸長量x=Ln-L0，用這樣的實驗數據是不會出現上述的佯謬。當然，本實驗中彈簧的原長是不必測出來的。計算彈簧伸長量時，我們往往是記錄不掛鉤碼時彈簧下端指針所對的刻度L'0，再記下掛鉤碼后彈簧下端指針所對的刻度L'n，然后彈簧伸長量x'=L'n- L'0。只是新彈簧的原長看不到也測不到，所以出現佯謬是無法避免的。

3.2 關于彈簧彈力的測量方法

本實驗中測量彈簧的彈力用的是轉換法，即利用二力平衡的知識，當鉤碼掛到彈簧下端后處于靜止狀態，彈簧對鉤碼的彈力和鉤碼的重力這兩個力的合力為零，可以把彈簧的彈力轉換為鉤碼的重力。我們在這個實驗中經常誤認為：不計彈簧的重力，當彈簧下端掛上鉤碼后處于靜止狀態，這時彈簧的彈力大小就等于鉤碼的重力大小，實際上這又犯了想當然的主觀錯誤。本實驗中新彈簧下端掛的50克鉤碼不超過3個時，彈簧此時內部由于原有伸長而產生的彈力比鉤碼的重力大，掛兩、三個50克鉤碼還不足以完全拉開新彈簧，彈簧處于非正常伸長的狀態，與鉤碼重力平衡的力并不是彈簧由于“正常伸長”而產生的彈力。這時鉤碼的重力并不等于我們所研究的彈簧“正常伸長”而產生的彈力。所以，在彈簧完全拉開之前，上述用轉換法測彈簧彈力是不能適用的。要解決這個問題，那就是在用新彈簧做實驗時，所掛的第一個鉤碼要用200克，這樣才能在彈簧正常伸長狀態下測出正確的彈力，就能避免出現非線性的問題。但必定會出現直線不過原點的問題。

3.3 關于原點這組數據的合理性分析

關于彈簧不掛鉤碼時彈力為零、伸長量也為零的這組數據是否合理的問題，筆者覺得，不管是新彈簧還是舊彈簧，都不能認為第一組數據（0 cm，0 N）是理所當然的，不能認為實驗中F-x圖像一定是過原點的，所以記錄實驗數據的表格中不能出現（0 cm，0 N），因為我們無法事先知道彈簧在不掛鉤碼時彈力是否為零、伸長量是否為零，除非實驗中能得到這組數據。因此，連線路時不能想當然地把原點也連起來。

4 對問題的反思

本次實驗結論出現佯謬的根本原因是我們教師主觀上的失誤造成的，是思維定勢的負面影響使得我們師生在實驗中出了差錯：第一，想當然地以為彈簧在不受任何外力時的長度就是原長，認為原長可以測量，并且認為用彈簧掛上鉤碼后的長度Ln減去不掛鉤碼時的長度L0就是伸長量x。第二，想當然地以為測量彈簧彈力的方法就是用掛鉤碼平衡的方法，把測彈簧的彈力轉換為測鉤碼的重力，沒有注意這個方法有什么適用條件，沒有注意測量中已經忽略彈簧的自身重力對測量彈力的影響，甚至混淆了“彈簧產生的拉力”與“彈簧受外界的拉力”這兩個概念，把本實驗探究的結果寫成“彈簧所受的拉力與彈簧的伸長量成正比”。第三，想當然地以為本實驗中第一組數據（0 cm，0 N）一定成立，所畫出的實驗圖像一定會過原點，而不實事求是地根據所測得的數據來判斷。

可見，在教學中如果我們教師稍不留神，就容易受思維定勢的負面影響，在教學中出現一些“想當然”的錯誤做法，這是今后教學中要時刻注意避免的。

參考文獻：

[1]廖伯琴.普通高中課程標準實驗教科書 物理 必修1[M].山東：山東科學技術出版社，2015.

[2]張大昌.普通高中課程標準實驗教科書 物理 必修1[M].北京：人民教育出版社，2011.

（欄目編輯 王柏廬）