薩切里四邊形與非歐幾何

張曉林+謝俊峰

幾何學是數學科學中歷史最悠久，也是最成熟的一個分支.18世紀以前，歐幾里得的歐氏幾何一統天下，我們現在初中所學習的幾何也屬于歐氏幾何的范疇.但到了19世紀，非歐幾何的發現對幾何學產生了深遠的影響.本文從歐幾里得的《幾何原本》說起，與大家談談薩切里四邊形與非歐幾何的聯系.

大家都知道，歐幾里得（公元前約325～270）是古希臘一位著名的幾何學家.他將前人積累的豐富資料以及自己的發現，進行系統而嚴密的整理，給出了幾何系統的第一個邏輯結構，寫下了人類歷史上的光輝巨著——《幾何原本》.《幾何原本》是歐氏幾何的基礎，歐幾里得先給出了關于點、直線、圓等概念的定義，然后列出了5條公理與5條公設（《幾何原本》中有“公理”與“公設”之分，近代數學對此不再區分，都稱“公理”）.這本著作里的命題都是依據這些定義、公理和公設，用形式邏輯的方法推演出來的，其系統性與嚴謹性令人驚嘆.這里給出了5個公設：

1.任何兩點之間可以畫一條直線；

2.有限的直線可以無限地延長；

3.以任何已知點為圓心，以任何長為半徑，總可以作出一個圓；

4.所有的直角都相等；

5.如果一個平面上的兩條直線與另一條直線相交，并且如果同側內角的和小于兩直角，則如果充分地延長這兩條直線，它們必將在內角和小于兩直角的一側相交.如圖，如果α+β<180°，則直線l1和l2必將在直線l3的右側某一點相交.

前4個公設很容易陳述，而且的確是不證自明的.第五公設就不同了，它的敘述非常繁瑣，并且不那么明了，似乎超出了直接的體驗.因此，自從《幾何原本》問世之后，人們就開始了對第五公設的爭議與研究.許多數學家都曾嘗試通過其他的公設和公理對第五公設予以證明，以消除對它的可靠性的懷疑，雖然都以失敗告終，但這些研究卻加深了人們對第五公設的認識，得出了許多與第五公設等價的命題，例如：過已知直線外一點能且只能作一條直線與已知直線平行.這種說法看上去簡單些，但本質上與第五公設沒有任何差別.

隨著用直接方法驗證的失敗，數學家們轉向間接方法，就是先否定第五公設，然后試圖導出矛盾.

18世紀初葉，意大利數學家薩切里（1667～1733）曾利用一個奇特的四邊形試圖用歸謬法證明第五公設.這個奇特的四邊形ABCD是個等腰雙直角四邊形，即AB=CD，∠B=∠C=90°，BC為下底邊，AD為上底邊，AB和CD為腰，∠A、∠D為頂角，這個平面上的簡單的四邊形被稱為薩切里四邊形，如下圖.

在不使用歐幾里得第五公設的條件下，很容易能證明∠A=∠D，但這兩個頂角的大小卻無法判定，于是，薩切里提出了三種假設：

1.（直角假設）∠A和∠D都是直角；

2.（鈍角假設）∠A和∠D都是鈍角；

3.（銳角假設）∠A和∠D都是銳角.

薩切里當時的思路是證明在這三種假設下，只有直角假設才是正確的，而承認其他兩種假設將會導致矛盾.

在直角假設下，薩切里證明了第五公設成立，反之，在第五公設成立的條件下，顯然有∠A和∠D都是直角.因此，歐幾里得的第五公設等價于薩切里四邊形中的直角假設.在鈍角假設下，薩切里導出了矛盾.而對于銳角假設，他證明得到了許多有趣的命題，如三角形內角之和小于平角，過線外一點可以作很多條直線與已知直線平行……但并沒有明確地導出矛盾.盡管得到了許多有趣的命題，但薩切里認為這些命題如此奇怪，無法令人接受.于是，他斷言歐幾里得第五公設是成立的，并于1733年發表了名著《歐幾里得無懈可擊》.就這樣，薩切里走到了非歐幾何這個偉大發現的門前卻止步了.

不過，很快就有人指出，薩切里在銳角假設下所導出的命題只是與人們的觀念和經驗相矛盾，而沒有邏輯上的矛盾. 實際上，當承認銳角假設時，由此推出的一系列幾何事實，就是羅巴切夫斯基幾何的內容.1829年羅巴切夫斯基的《幾何學原理》第一次公開發表了，1855年，他的最后一本著作《泛幾何學》對非歐幾何給出了全新的說明.

此外，當承認鈍角假設時，由此推出的一系列幾何事實，實際上是黎曼幾何的內容.1854年，黎曼提出了一種全新的非歐幾何的思想，黎曼幾何.

這就是人們現在所稱的兩種非歐幾何，通常它們的名稱是羅巴切夫斯基（或雙曲）幾何和黎曼（或橢圓）幾何.

盡管如此，薩切里的三種假設還是有功績的，他的方法與思路給了人們很多啟示.所以，人們還是認為薩切里為非歐幾何的開山祖師之一.

（作者單位：江蘇省揚州市田家炳實驗中學）