解答平面解幾的另徑

梁義

摘 要：將解析幾何中繁雜、冗長的計算問題轉化為幾何問題，尤其是解三角形問題，達到精煉、準確處理解析幾何問題。

關鍵詞：解析幾何；圓錐曲線；解三角形

解析幾何是“經典”的坐標法，就是用代數的方法解決幾何問題，就是計算幾何，但這種計算通常十分繁雜、冗長、甚至無法得出結果。其實解幾問題也可以通過數形結合的思想，將問題轉化為幾何問題。這里我將主要以轉化為解三角形的形式，這樣很多問題會變得簡單、有趣。下面就以近四年高考全國卷（理科）試題為例，舉例說明。

例1：（2016年全國理11題）。已知F1、F2是雙曲線E：■-■=1的左右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2 F1=■，則E的離心率為（ ）

A.■ B. ■ C.■ D.2

解法一：在Rt△MF1F2中：

∵sin∠MF2F1=■

∴|MF1|=■|MF2|

∴2a=|MF2|-|MF1|=|MF2|-■|MF2|=■|MF2|

2c=|F1F2|=■=■MF2

∴e=■=■

故選A。

解法二：由sin∠MF2F1=■

∴tan∠MF2F1=■

∴xm=-cym=■

代入雙曲線■-■=1

？圯2b2c2-a2c2=2a2b2

？圯2（c2-a2）c2-a2c2=2a2（c2-a2）

？圯2c4-2a2c2-a2c2=2a2c2-2a4？圯2e4-5e2+2=0

∴e2=2或e2=1（舍去） 即： e=■

點評：（1）此題就是圓錐曲線的“焦點三角形”，也是解析幾何中的重要三角形。“邊”就是圓錐曲線的元素，所以很容易想到解三角形，而且結題效果很湊效。

（2）也可通過解方程計算（方法二）達到目的，但運算量較大，不太精煉。

例2：（2015年全國卷理11題）。已知A、B為雙曲線E的左右頂點。點M在E上。△ABM為等腰三角形，且頂角為 °120°，則E的離心率為（ ）

A.■ B.2 C. ■ D. ■

解：由雙曲線的對稱性，∠AMB不可能是頂角，不妨設∠MBA=120°。連MF2（F2為E的右焦點）。

在△BMF2中， ∵BM=2a， ∠MBF_2=60°

∴xm=2a ym=■a

？圯■-■=1？圯a=b ∴e=■

故選D

點評：此題就是“頂點三角形”，也是圓錐曲線的重要三角形，自然也是解三角形的問題。由于三角形形狀已確定，進而解△BMF2，思維合理、自然。

例3：（2014年全國卷理10題）。已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為L，P是L上一點。點Q是直線PF與C的一個交點。若■=4■則|QF|=______

A.■ B.3 C.■ D.2

解：設|QF|=a， ∴|FP|=4a？圯|PQ|=3a.

過Q作QM⊥L交L于M.

∴OF=4， |MQ|=a

∵△OPF～△MPQ？圯■=■？圯■=■

？圯a=3.

點評：由拋物線的定義|QF|=|QM|，問題馬上化解為兩個相似Rt△邊的關系，迅速解答。

例4：（2013年全國卷理11題）。設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F。點M在C上，|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點（0.2）。則C的方程式為______

A.y2=4x，或y2=8x. B.y2=2x，或y2=8x.

C.y2=4x，或y2=16x. D.y2=2x，或y2=16x.

解：設N（0.2），連NM、NF.

∴△NMF是以N為直角頂點的Rt△，

由拋物線的定義：xm=5-■.

y2m=2p.（5-■）=10p-p2. 不妨設ym=■

∴■（5-■）-2■+4=0？圯p=2或者8，故選C。

點評：將以MF為直徑的圓的過點（0.2）化為△NMF是Rt△是本題的關鍵。因為垂直，所以可以考慮是勾股數，斜率積、數量積。都較為容易獲解。

以上四例都是近四年高考“圓錐曲線”的四道壓軸題，其解法卻可化為三角形問題。說明三角形解法在“圓錐曲線”問題中很是有效。敬請各位同仁共賞。