透過現象看本質，淺談復習模擬題的三個境界

筅江蘇省揚中高級中學周偉偉

透過現象看本質，淺談復習模擬題的三個境界

筅江蘇省揚中高級中學周偉偉

王國維先生在《人間詞話》中認為：成大事、大學問者，必須要經歷三個境界.筆者愚見，對于高考復習中的模擬題，也需要通過三個境界的學習研究，才算是將高考模擬題的價值充分利用.第一境界，就是僅僅解決這個問題；第二境界，是能夠解決與此類似的同類問題；而第三境界，是透過現象看到問題的本質，解決與此題相關的其他問題.

一、解決原題——昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路

研究高考模擬題首先要找到正確的方法，盡量快速的解決問題，將解題過程仔細詳盡的呈現出來，讓計算結果沒有遺漏，準確無誤.

例題（2016年北京市高考模擬題）現有一個全部由正整數組成的等差數列｛an｝，前n項和可以用Sn表示.已知等式k-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*），請求出常數k和等差數列｛an｝的通項公式.

思路突破：本題可以采用數學歸納法，設數列的首項為a1，公差為d，由于k-1=S2n-Sn+1，可以分別取n=1，n= 2，n=3，通過得到的三個等式求出k、a1和d的值，再將所得結果代入k-1=S2n-Sn+1中進行檢驗，檢驗過程采用數k-1=S2n-Sn+1，可以得到k（2An-A+B）2-1=A（2n）2+B（2n）-［A（n+1）2+B（n+1）］，整理之后得到4A2kn2+4Ak（B-A）n+（B-A）2k-1=3An2+（B-2A）n-（A-B），由于此式對于（n∈N*）恒成立，所以等式兩邊對應項全部相等，即4A2k=3A，4Ak（B-A）=B-2A，（B-A）2k-1=-（A+B），通過以上三個學歸納法的一般方法，由于本文的重點是等式恒成立問題，在此對于數學歸納法不再贅述.

利用等式恒成立這一條件來解決此題，根據題目已知條件，可設Sn=An2+Bn，那么an=Sn-Sn-1=2An-A+B，S2n= A（2n）2+B（2n），Sn+1=A（n+1）2+B（n+1），將以上三式代入等式可以解出若A、B都為0，雖然滿足等式，但不符合題意，應該舍去），所以k=，等差數列｛an｝的通項公式為

二、拓展訓練——衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴

數列中的等式恒成立問題在高考中出現的頻率非常高，同樣類型的題目在其他省市的高考模擬題中也層出不窮，同類型問題的變式訓練，讓高考復習又提高了一個境界.通過對數列問題中的等式恒成立變式訓練，可以進一步提高復習的質量.

變式1：已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn，是否存在等差數列｛an｝，使得等式Sk2 =（Sk）2.若存在，求出所有的｛an｝；若不存在，請說明理由.

變式2：已知｛bn｝是公比為q的等比數列，｛an｝是公差為d的等差數列，求出所有滿足條件的數列｛an｝和｛bn｝.

思路點撥：這里的兩道數列變式題，與原題是屬于同一類型，都是將問題轉化為等式恒成立問題.通過題目中的已知條件，設出未知數，然后根據相應關系得出相應的等式方程，然后根據各個項對應相等，求出未知數的值，從而求出數列的通項.

三、深入思考——眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處

等式恒成立問題不僅僅存在于數列中，在解析幾何中也有等式恒成立的應用.在高考復習中若能對一道題進行更深層次的思考，透過現象看出問題的本質，這可以算是高考復習的第三層境界，視為最高境界.

變式3：（2016年蘇州市高考模擬題）如圖1所示，有圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2=4.已知P為平面上的點，有無窮多對互相垂直的直線l1和l2經過P點，這些直線分別與兩個圓相交，并且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被C2截得的弦長相等，請求出所有滿足以上條件的P點坐標.

圖1

思路突破：將P點的坐標設為（x0，y0），而直線l1可以設為y-y0=k（x-x0）（k≠0），由于直線l1與直線l2垂直，所以直線l2可以設為，根據點到直線的距離公式可以得到等式，則關于k的方程-3k-1-kx0+y0=4+5k-x0-ky0或-3k-1-kx0+y0= -（4+5k-x0-ky0）有無窮多個解，易求出P點的坐標.

變式4：（2015年青島市高考模擬題）在平面直角坐標系xOy中，二次函數f（x）=x2+2x+b（x∈R）的圖像與x、y軸有三個交點，圓C經過這三個交點.

（1）求實數b的取值范圍.

（2）求圓C的方程.

（3）圓C是否經過與b的取值無關的定點？是，請求出所有的定點；否，請說明理由.

思路點撥：對于本題的前兩問，與本文的論點并無關系，在此不再贅述.對問題（3）進行簡單提示，根據題目中的條件，圓C經過的定點與b的取值無關，也就意味著關于該定點的等式對于任意實數b恒成立，從而又將問題轉化為等式恒成立問題，問題自然能夠迎刃而解.

四、反思歸納

通過對等式恒成立問題的深入思考，可以得到諸多啟發.在此筆者將這些啟發進行總結歸納，與諸位同行共同探討.

1.高考模擬題復習的三層境界

高考復習中會碰到各省各市的模擬題，對于這些模擬題若能正確對待，合理利用，必然能夠提高高考復習的質量.筆者認為，對于高考模擬題的訓練，需要達到三個境界，才能算是恰當的使用寶貴的資源.第一層境界就是對原題進行透徹分析，解決這個問題，正如本文中原題呈現環節所做的；第二層境界就是對同類型的題目進行變式訓練，讓學生進行對比訓練，提高復習效率；而第三層境界就是透過問題的本質，發現問題的核心所在，例如本文中的模擬題，其核心內容就是等式恒成立，而等式恒成立不僅僅局限于數列問題，在高中數學的其他方面也多有運用，若能通過等式恒成立來對其他問題進行一并復習，復習效果可想而知.

2.透過現象看本質，方識“廬山真面目”

對于數學問題，需要抓住問題的本質，不能被表面的假象所迷惑.許多學生研究數學問題只能做到從表象到表象，不能抓住問題本質，導致解題方法單一，思維能力得不到鍛煉.如果能夠抓住問題的本質，就可以一步步將問題抽絲剝繭，緊緊抓住問題的主線，從而解決問題.例如在原題呈現中，解決這個問題的關鍵是緊緊抓住k-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*）這個條件，根據這個恒成立條件，得出相應的等式方程，從而求出各參數的值.而在四道變式題中，也是同樣的道理，即使題目的條件迥異，但是只要抓住問題的本質——等式恒成立，不斷地往這個方向靠攏，將各個條件進行糅合，才能事半功倍地解決問題，方能識得“廬山真面目”.

3.抓住題目特殊詞，事半功倍解難題

在高中數學中，有些題目中往往會含有一些特殊詞語，這些特殊詞語往往大有文章可作.抓住那些特殊詞語，對于解題可以說是大有幫助.例如原題呈現中的“對于任意正整數恒成立”，變式3中的“無窮多”.還有一些情況，并不能一下子就能看出這些特殊詞語，只不過是換了一種說法，例如變式4中的“與b的取值無關”，仔細一想不就是“對于任意b都成立”，更體現了透過現象看本質的重要性.通過這些特殊詞語，可以自然想到這些問題必然是通過等式恒成立來解決，省去了許多不必要的麻煩.在高考中，考試時間非常寶貴，若能好好利用這些特殊詞語，必然能夠節省考試時間，提高解題效率.

1.胡乾彪.高三的復習課可以上的有效［J］.中學數學（上），2016（2）.

2.楊云.回歸課本是高考數學復習的有效途徑［J］.數學教學通訊，2016（11）.

3.徐茂炳.透過現象看本質［J］.中學數學，2012（8）.F