慢教學，慢思考，大收獲
——記一節習題課教學

筅貴州省息烽縣第一中學王守康

慢教學，慢思考，大收獲
——記一節習題課教學

筅貴州省息烽縣第一中學王守康

現在的數學教學，很多同學或老師追求課堂的容量，然而，將節奏放慢，引導學生從多角度對典型題目隱含的信息進行審視和深層次挖掘，體會解題所用知識、方法、數學思想及知識與方法的聯系，反思解題過程中的障礙以及解決該題的關鍵，對學生形成挖掘題目信息的習慣，尋找解題規律有重要意義，會讓同學和老師有意想不到的收獲.下面筆者以最近課堂的一節上課實錄，談談想法.

題目已知函數f（x）=ax2+xlnx.若a=-e，證明：方程2（fx） -3x=2lnx無解.

（學生充分思考，動筆去解，老師巡視……）

教師：誰來談談看法？

學生1（證法1）：我先想到的是“想辦法把絕對值去掉”.

因為a=-e，

原方程可化為2|ex2-xlnx|=3x+2lnx（x>0）.

令h（x）=ex-lnx，

min

所以h（x）=ex-lnx>0.

又x>0，

所以ex2-xlnx>0.

因此原方程可化為2（ex2-xlnx）=3x+2lnx（x>0）.①

進一步化為2ex2-2（x+1）lnx-3x=0（x>0）.②

令g（x）=2ex2-2（x+1）lnx-3x，

接下來我就不知咋辦了？

教師：為了研究問題的方便，想到去掉絕對值，很好！而且想到因為x>0，所以只需判斷h（x）=ex-lnx的符號，通過求導，求出=1+1>0，從而判斷了符號，達到去掉絕對值的目的更是聰明！在對①式進行轉化時，把非零項都放在了方程一邊，也是很自然的思路.問題就在于我們無法求出g′（x）的零點，觀察法也不行，從而無法求g（x）最值，很遺憾，此路不通！

課堂一片寂靜！

（數秒后）學生2：我們沒有必要求出零點，我們只要由零點存在性定理判斷g′（x）有變號零點就可以了.設出隱零點x0（設而不求），然后利用方程f′（x0）=0進行代換，從而求最值.

教師：你太厲害了！大家趕快試試，看看能否行得通？

課堂再次安靜下來，個個爭先恐后地動起筆來.

學生3：我判斷出了有零點.

教師：很好.這個零點唯一嗎？

所以g′（x）在（0，+∞）上為增函數.

教師：大家太厲害了！這樣我們很容易判斷x0是g（x）的極小值點，也是最小值點.那么目標能實現嗎？

經過一會兒演算，我看到的是個個愁眉苦臉！

教師：誰來談談遇到了什么困惑？

000

而11-6e<0，因此無法判斷g（x）min的符號.

教師：這下白忙了！有解決辦法嗎？

學生6：有.把隱零點x0的范圍再縮小點.

這時課堂氣氛顯得異常熱烈！

=5-e-2ln2>2-2ln2>0，

教師：這樣能行了嗎？

同學們又迫不及待地進行嘗試……

學生8：我做出來了！

我看到他興奮的樣子，就立即讓他說說看.

教師：經過大家努力終于大功告成，我們在此題的探究中遇到了太多挫折，同時得到太多意外收獲，可喜可賀！也許這就是我們的數學人生！這樣就得到g（x）>0，從而方程②（其實是g（x）=0）無解，即原方程無解.

正在總結時，數學課代表積極地舉手要發言.

令h（x）=ex-lnx，

易知，當（0，e）時，φ′（x）>0，所以φ（x）在（0，e）上為增函數；

當（e，+∞）時，φ′（x）<0，所以φ（x）在（e，+∞）上為減函數.

因此，h（x）>φ（x）（x>0）.

故方程④無解，即原方程無解.

教師：太神奇了！只是做了簡單的變形，然后用最值法，證法大大簡化，方程①還有其他的變形方式嗎？能行得通嗎？

結果這一做法起了拋磚引玉的作用，課堂氣氛更加活躍，接下來又有同學給出了兩種不同證法.

學生10（證法3）：方程①可化為2ex2-2xlnx-3x-2lnx= 0（x>0）.⑤

由證法2知，h（x）=ex-lnx≥2.

因此，對于方程⑤，

左邊=2x（ex-lnx）-3x-2lnx≥4x-3x-2lnx=x-2lnx.

令F（x）=x-2lnx（x>0），

易知，F（x）min=F（2）=2-2ln2>0.

因此，方程⑤左邊>0，所以方程⑤無解.

故原方程無解.

學生11（證法4）：我是利用常用不等式lnx≤x-1（x=1時取等號）進行放縮的.

因為lnx≤x-1，

所以-2（x+1）lnx≥-2（x2-1）（x>0）.

方程①可化為2ex2-3x-2（x+1）lnx=0（x>0）.⑥

對于方程，⑥左邊≥2ex2-3x-2（x2-1）=2（e-1）x2-3x+ 2.

令m（x）=2（e-1）x2-3x+2，

則Δ=9-16（e-1）<0.

故m（x）>0恒成立.

因此方程⑥左邊>0，所以方程⑥無解.

故原方程無解.

教師：你們太聰明了！多好的放縮法！放縮法在證明不等式中經常有神奇表現，大家以后可多多嘗試！它很具挑戰性，特別是要放縮有度，有時要調整這個“度”！

此時下課鈴聲響起！

我看到了學生臉上的表情：驚嘆之余，有些不舍和遺憾！

高中數學教學其實就是解題過程的教學，解題就是把待解決或未解決的問題，化歸為一類已經解決或者比較容易解決的問題，特別對于高考試題就是將高考試題化歸為課堂上已經解決的問題，或化歸為往年的高考題或其變形，而理解題意是解題過程的第一環節，也是核心環節.若草草拋給學生答案，學生收獲甚微，只有讓課堂教學慢下來，從題目本身獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點、推理目標、及溝通起點與目標之間聯系的更多信息，才能不斷培養學生分析問題、解決問題的能力.在平時的教學中，我們教師要充分相信學生，教學中要多給一點學生自由思考的時間，教師不能只按照自己事先想好的思路來教學，否則就會限制學生的思維，強扭學生的思維，題目剛出來就先進行提示或分析，那樣做會扼殺學生的自主思維能力，剝奪學生的自由創造空間.在學生還沒來得及思考的時候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對他們思維能力的形成是個不小的打擊.