一類圓錐曲線定點問題的多視角探究

筅浙江省諸暨市海亮高級中學沈鐵表

一類圓錐曲線定點問題的多視角探究

筅浙江省諸暨市海亮高級中學沈鐵表

同一類型的問題，其解法往往有其規律性，要想減輕課業負擔，從題海中解脫出來，必須學會在解題后對問題的求解方法、常見變式進行探究，并發現歸納知識間的內在聯系，挖掘出數學思想與方法，總結概括出解題的基本規律.這樣，既有利于對問題的認識上升到一個更高層次，又有利于概括思維能力的訓練和培養.

例1在平面直角坐標系xOy中，動點E到定點（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等.

（1）求動點E的軌跡C的方程；

（2）設動直線l：y=kx+b與曲線C相切于點P，與直線x=-1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過點M（1，0）.

解析：（1）y2=4x.（過程略）

設切點P（x0，y0），

故以PQ為直徑的圓恒過定點（1，0）.

點評：以PQ為直徑的圓恒過定點M，則有MP⊥MQ，從而可利用向量數量積為0或斜率之積為-1來求解.

下面從多個視角對此類定值問題進行探究.

一、改變求解結論

例2在平面直角坐標系xOy中，動點E到定點（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等.

（1）求動點E的軌跡C的方程；

（2）設動直線l：y=kx+b與曲線C相切于點P，與直線x=-1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過x軸上某定點.

解析：（1）y2=4x.（過程略）

（2）聯立消去x得ky2-4y+4b=0，因為直線l與拋物線相切，所以Δ=16-16kb=0，即b=，所以直線l的方程為y=kx+.

點評：本題將所求結論改為定點的探索型問題，求解的關鍵是找出滿足條件的參數關系式，即可判定所過的定點.

二、改變求解策略

例3同例2.

解析：（1）y2=4x.（過程略）

設切點P（x0，y0），則

令k=1，則P（1，2），Q（-1，0），PQ中點為（0，1），|PQ|=，所以以PQ為直徑的圓的方程為x2+（y-1）2=2.令y=0，得x=1，所以圓與x軸的交點為M（1，0）.下面證明M（1，0）即為所求的定點.

故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點（1，0）.

點評：本解法通過取k的特殊值，將圓的方程特殊化，從而得出該圓與x軸的交點，再通過證明該點即為所求的定點.這種從特例入手，驗證一般的處理方法，既能快速明確目標，又減少了大量的繁雜計算.

三、改變曲線類型

（1）求橢圓E的方程；

（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由.

因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0），所以m≠0且Δ=0，即64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，化簡得4k2-m2+3=0.①

設M（x1，0），則對滿足①式的m，k恒成立.

由于②式對滿足①式的m，k恒成立，即與m，k的取值無關，故整理成（4x1-4）

故存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過定點M.

若滿足條件的點存在，則定點為M（1，0）

下面只需驗證點（1，0）是否符合題目條件即可.

故存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

點評：圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，三者具有統一的定義，因此對于某一曲線所具有的性質，可類比遷移到其他曲線，通過對問題的探究，可以有效提高學生分析、處理問題的能力.

綜上，圓錐曲線中的定點問題看似沒有規律和聯系，事實上只要我們作深入思考，就不難發現其中的奧秘和內在的規律.只要掌握這些規律和聯系，解決這類問題就顯得很簡單了.通過對這類問題的探究，不僅學會了一類知識，還會大大提高學生的解題能力.F