基于核心素養的高中數學概念教學案例分析

筅江蘇省清浦中學吳洪生

基于核心素養的高中數學概念教學案例分析

筅江蘇省清浦中學吳洪生

一、核心素養的基本內涵

《普通高中數學課程標準（實驗）》明確指出：“數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的.數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的思維品質與關鍵能力.高中階段數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個維度.這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.”［1］六大核心素養相互聯系、相互補充、相互促進，在不同情境中整體發揮作用.也可以說六大核心素養涵蓋“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界”三個方面.用數學的眼光觀察世界，即接收外界輸入的信息，并對信息進行數學抽象、直觀想象；用數學的思維分析世界，即運用邏輯推理、數學運算對信息進行加工處理；用數學的語言表達世界，即運用數學建模、數據分析向外界輸出信息.

二、對概念教學的認識

李邦河院士認為“數學根本上是玩概念，不是玩技巧的，技巧不足道也.”數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系本質屬性的思維形式.它是思維的細胞，是構成數學知識大廈的基石，是進行邏輯思維的第一要素，是數學思想和方法的載體，是數學教學的核心與基礎，也是解決數學問題的前提.［2］因此，在概念教學中，必須注重概念的形成過程，引導學生主動地親身經歷概念的形成過程，追求自然生成的概念教學，真正掌握數學概念.具體說，概念教學要做到三個注重：

1.注重概念的探究與形成

從數學史的研究來看，每一個數學概念的形成和發展，都有各不相同的經歷，教學中要注重揭示數學概念形成的過程，激發學生學習數學的興趣，引導學生經歷概念的發現和生成過程，讓學生在感性認識的基礎上，經過數學建構，形成數學概念，并理解數學概念.

2.注重概念的抽象與表達

數學概念是培養學生核心素養、提升學生數學思維能力的一個載體，是數學知識體系的細胞，廣泛存在于高中數學的各個模塊之中，是基礎知識中的基礎.學生對概念的認識是一個從具體到抽象、從特殊到一般的過程.因而在教學過程中，我們不但要讓學生經歷概念形成的過程，更要注重概念的定性把握、定量刻畫、抽象概括、準確表達，進而形成精確的數學概念.

3.注重概念的運用與提升

“生活中處處有數學”，數學概念來源于生活，又服務于生活.在概念教學中，老師要引導學生運用概念去解決數學問題，通過實例來說明概念，加深對概念的理解，培養學生的思維能力，提升學生的數學素養.只有當學生將所學的數學概念運用于生活實際，數學概念才能得以鞏固，數學思維才能得以提升，數學能力才能得以提高.

三、核心素養視角下的案例分析

案例1“任意角的三角函數的概念”的教學片斷.

（1）創設情境，啟發思考.

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：“在三角函數的教學中，教師應根據學生的生活經驗，創設豐富的情境，使學生體會三角函數模型的意義.”［1］由于三角函數是刻畫周期運動的數學模型，而摩天輪的運動是生活中最常見、最典型的周期運動情境，所以情境引入從摩天輪開始.星期六下午，小明和弟弟到游樂園游玩……

問題1：當弟弟坐上摩天輪，摩天輪開始轉動后，小明最關注什么？

設計意圖：讓學生通過觀察發現，隨著摩天輪的旋轉，形成弟弟位置不斷改變的感性認識.通過直觀想象與數學抽象，將摩天輪抽象為圓，弟弟抽象為點，這樣弟弟隨摩天輪的旋轉就抽象為質點在圓周上的運動.弟弟在哪兒，就轉化為如何刻畫圓周上點P的位置.進而經過學生的探究有兩種刻畫的方法，有序數對（r，α）可以表示點P；有序數對（x，y）也可以表示點P.有利于培養學生的直觀想象、數學抽象等核心素養.

問題2：隨著摩天輪的轉動，r，α，x，y這四個量哪些發生改變？

設計意圖：問題2是對問題1的深入，從直觀感知點P運動的過程，發現并想象r，α，x，y中的哪些量在變化.培養學生的直觀想象核心素養.

問題3：這些改變本質上是由哪個量所引起的？

設計意圖：問題3目的在于明確哪個量在變化中起關鍵作用，明確α的關鍵作用后，為后續定義中，比值隨α的變化而變化，即確定α的自變量的身份埋下伏筆.培養學生的邏輯推理核心素養.

（2）合作探究，協作交流.

問題4：隨著α改變，r，x，y與α之間有什么關系？

設計意圖：問題4提出本節課所要探究的中心問題——尋找四個量之間的關系，喚起學生的探究意識.從問題2到問題3到問題4，發現問題，提出問題，層層遞進，螺旋上升.

問題5：當α為銳角時，r，x，y與α有什么關系？

設計意圖：搭建腳手架，以退為進，引導學生合作、探究，從最熟悉的銳角出發，借助初中所學的靜態的直角三角形中的邊角關系，轉化得到sinα=，cosα=， tanα=，先建立三角函數的數學形式.培養學生的數學建構意識和轉化化歸思想.

設計意圖：引導學生合作、探究證明比值的唯一性，也就是與點P在角的終邊上的位置無關.通過幾何畫板的演示說明隨著銳角的變化，比值隨之而變化，一個銳角對應唯一一個比值.進而形成對應學意義下的銳角三函數.培養學生的邏輯推理和數學建模素養.

問題7：當α的終邊落在第二象限時，r，x，y與α有什么關系？第三象限呢？第四象限呢？

設計意圖：通過幾何畫板的演示將上述結論推廣到任意角的情形，培養學生的觀察、分析、概括能力.

設計意圖：結合函數概念建構任意角的三角函數的概念.培養學生的遷移意識和數學建模素養.

問題9：能用函數概念對它進行完整闡述嗎？

設計意圖：培養學生的概括能力，學會用數學的語言表達世界.

（3）知識建構，提升能力.

剖析：①任意角α的三角函數值僅與α有關，而與點在角的終邊上的位置無關；

②由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，三角函數可以看成是自變量為實數的函數.

問題10：剛才研究的過程中，你發現了這些三角函數的符號規律了嗎？

設計意圖：讓學生由三角函數的定義總結歸納三種三角函數在各個象限的符號規律，培養學生的邏輯推理核心素養.

案例2“直線與平面垂直的定義”的教學片斷.

《普通高中數學課程標準（實驗）》要求立體幾何的教學采用“直觀感知、操作確認、思辨論證”等方法，認識和探索空間圖形的概念及其性質，體會空間圖形問題的研究方法，培養學生的問題探究、推理論證和空間想象能力.［1］因此本課例以問題探究為主線，以師生互動為主要方式，使學生在自主探究中建構概念，發展空間觀念和幾何直覺，培養學生的數學核心素養.

（1）創設情境，感知概念.

展示圖片：①比薩斜塔；②天安門廣場國旗；③橋柱與水面.

問題1：這里的直線與平面給我們以怎樣的直觀印象？你能再舉一些日常生活中直線與平面垂直的例子嗎？

設計意圖：通過對斜交與垂直具體實例直觀形象的比對，讓學生首先在腦海中形成認知沖突，特別是讓學生再舉例強化對“垂直”的感知，為下面垂直特征的發現、定義的建構做鋪墊.這種通過生活中的實例引入概念的方式有助于學生將生活中的素材和數學知識融為一體.這也說明生活中處處有數學，數學來源于生活.鼓勵學生用數學的眼光去認識世界，用數學的思維去分析世界.

（2）設置問題，共同探究.

如何從數學的角度定義一條直線與一個平面垂直？

問題2：圓錐的底面是如何形成的？

問題3：圓錐的軸與底面半徑是什么關系？

問題4：圓錐的軸與底面內過中心的任意一條線是什么關系？

問題5：圓錐的軸與底面內不過中心的任意一條線是什么關系？

設計意圖：明確研究問題、研究方向、研究方法.通過學生實驗操作、自主探究，發現直線與平面垂直的本質特征.通過這樣直觀的、具體的例子探究概念，借助學生已有的具體的直觀經驗，幫助學生建立感性經驗和抽象概念之間的聯系，實現從具體到抽象的過渡.培養學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養.

（3）觀察歸納，建構概念.

歸納：圓錐的軸所在直線垂直于底面內的任意一條直線.

建構數學：如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直.

問題6：定義中的關鍵詞是什么？

問題7：任意等價于所有嗎？等價于無數嗎？

問題8：定義中蘊含怎樣的轉化關系？

設計意圖：讓學生自主歸納建構直線與平面垂直的定義，培養學生抓住本質準確表達的能力，激勵學生用數學的語言表達世界.通過對“任意”與“無數”的比較，培養學生的邏輯推理能力.

案例3“直線的斜率”的教學片斷.

《普通高中數學課程標準（實驗）》明確指出：解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現數形結合的重要數學思想.也就是將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題、處理代數問題、分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題.這種思想貫穿解析幾何教學的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法，形成用代數方法解決幾何問題的能力.

（1）創設情境.

問題1：畫出下列函數y=x+1，y=3x+1，y=-2x+1的圖像.

設計意圖：從學生熟悉的一次函數入手，畫出圖像，探究確定直線的幾何要素——兩個點.

（2）觀察對比.

問題2：確定直線的要素是什么？

問題3：觀察上面的三條直線，說說它們的異同點？

問題4：如果只給出一點，要確定一條直線，還需添加什么條件？

設計意圖：通過問題2、3、4的探究，明確確定直線的要素：已知兩點可以確定一條直線；已知一個點和直線的方向也可以確定一條直線.

問題5：如何用數學的語言來刻畫直線的方向呢？

問題6：在直角坐標系中，點可以用坐標來表示，那么直線的傾斜程度是否也能用坐標表示？

設計意圖：激發學生的探究欲望.

師：出示兩幅樓梯圖片，如圖1、圖2所示，我們以這兩個樓梯為例來探究它們的傾斜程度.

圖1

圖2

設計意圖：培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界.

（3）合作探究：學生活動與師生互動.

問題7：如何刻畫樓梯的傾斜程度？

問題8：如何計算坡度？

問題9：樓梯的傾斜程度與坡度有何關系？

生：由圖（圖3、圖4）可以看出，如果樓梯臺階的寬度（級寬）不變，那么每一級臺階的高度（級高）越大，樓梯越陡.也就是說：坡度越大，樓梯越陡.（用數學的思維分析世界）

圖3 （樓梯簡圖）類比

圖4 （直線）

設計意圖：在初中學生已掌握坡度概念，而坡度與斜率本質相同，因此坡度是引入斜率概念比較合理的切入點.斜率是坡度的發展，如何在坡度概念的基礎上建構斜率概念，是本節課教學的核心問題.

（4）數學抽象.

問題10：將樓梯坡面抽象為直線，樓梯的坡度即為直線的傾斜程度.樓梯的坡度我們是用每一級臺階的高度比上臺階的寬度來表示.類比可得，在直角坐標系中，如圖5，我們在直線上取不同兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），其中如果x1≠x2，那么“級高”和“級寬”分別等于什么？

圖5

生：y2-y1，x2-x1.

（5）建構數學.

問題11：你能表述它們之間的關系嗎？

設計意圖：讓學生自己發現并證明斜率的唯一性，培養學生的數學推理核心素養.

問題13：如果x1=x2，那么直線PQ的斜率怎樣？

生：直線PQ的斜率不存在，此時直線PQ垂直于x軸.

問題14：如果y2=y1，那么直線PQ的斜率怎樣？

生：直線PQ的斜率為0，此時直線PQ垂直于y軸.

問題15：求一條直線的斜率需要什么條件？

生：只要知道直線上任意兩點的坐標.

設計意圖：建構主義認為：“數學學習的本質是主體（學生）在頭腦中建構和發展數學認知結構的過程，是主體的一種再創造行為”.通過這幾個問題的辨析，讓學生進一步認識直線斜率的本質，并培養學生嚴謹的數學思維習慣.

四、基于核心素養的概念教學的思考

數學概念的形成過程，就是數學家的創造過程.從這個意義上講，數學概念教學就是一種“重構”的過程，我們要擇其要領，創設有利于發展學生核心素養的教學情境，將數學家的發現過程還原給學生，追尋數學發展的歷史足跡，啟發學生探究，體會其中蘊含的數學思想，教會學生“數學地思考”，引導學生把握數學概念的本質.數學核心素養理念下的概念教學應抓實以下三個方面：

1.在問題情境中培養學生的核心素養

愛因斯坦說：“提出問題比解決問題更重要.”在數學概念教學中，基于學生數學學習水平，創設恰當的問題情境.基于問題情境，提出新的問題，推進數學活動，激發學生思考，實現數學建構，達成教學目標.問題是思考的源泉、探究的載體，解決問題則是思考的動力.問題的設計要抓住知識之間的內在聯系，著力于概念的形成，致力于讓學生經歷從圖形語言、文字語言、符號語言等轉換的過程，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數學研究方法，發展自身的直觀想象、數學抽象等數學核心素養.

2.在探究建構中培養學生的核心素養

新課標倡導通過各種不同形式的探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，促其養成獨立思考、積極探索的習慣.在探究過程中，教師不能越位，只能適時引導點撥，給學生一定的時間空間，讓學生自主學習、獨立探究、合作探究，讓他們在互動時產生智慧的火花，用數學的語言表達研究對象的本質，進而由學生自己得出概念，體會概念的來龍去脈，體驗成功的喜悅，發展自身的數學抽象、數學建模等數學核心素養.

3.在概念運用中培養學生的核心素養

從概念教學的過程來看，學生對概念的認識是一個從具體到抽象，再從抽象到具體的過程.從具體到抽象是為了幫助學生建立數學概念，從抽象到具體是為了讓學生加深理解并能運用概念進行推理與運算.教師引導學生運用概念去解決數學問題，是培養學生思維，發展各種數學能力的過程.學生只有把所學的數學概念，回到具體問題中去運用，才能使概念得以鞏固，進而提高學生對數學概念的運用能力，也才能在概念的運用過程中發展學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.董榮森.精心設計教學環節，優化概念教學過程［J］.中學數學（上），2015（2）.F