一堂常態課教學的“忠”與“創”
——以必修4“二倍角三角函數（2）”為例

·江蘇省無錫市王華民名師工作室·

一堂常態課教學的“忠”與“創”
——以必修4“二倍角三角函數（2）”為例

筅江蘇省太湖高級中學俞培慶

筅江蘇省無錫市濱湖區教研中心王華民

筅江蘇省太湖高級中學王國星

【問題提出】

近年來，我們聽了很多課，感覺到在“用教材教”方面有下列傾向：一是過于依賴教材，表現在上課的內容，包括例題、練習均按教材的順序呈現，幾乎沒有什么改變；二是甩開教材，另行一套.當然，大部分教師是介于兩者之間，對教材有一點改動.不少教師有一些困惑：改什么？如何改？這是本文要研究的重要內容.

數學教材是依據課程標準，經專家不斷打磨而成的書籍，是數學教學最重要的依據，因此教學需要忠于教材、尊重教材.但數學教學若只是照本宣科，那么，一方面無法體現教師的教學個性與創造性，另一方面，學生覺得只需要看書即可.久而久之，對一批優秀生缺乏吸引力，也難以體現教師的指導作用.因此，我們提出“既要忠于教材，又要對教材有所創造”的原則（以下簡稱“忠”與“創”）.這里的“忠”是指遵循教材的編寫意圖、思想精髓、精神實質、整體結構和基本素材；這里的“創”是指不能照搬，要有所創造，能順應學生的認知規律，呈現知識的發生、發展過程，注入教師的個性元素，重視和充分發揮教師的教學個性與創造.

【教材呈現】

蘇教版必修4課題“二倍角三角函數（2）”的內容呈現如下：

首先教材106頁提出一道思考題：在一個圓的所有矩形中，怎樣的矩形面積最大？（見圖1）

圖1

（然后是如下的三道例題，解答從略）：

圖2

例3在半圓弧型鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個矩形的面積最大？（見圖2）

【教學簡案】

在王華民名師工作室的一

次研究課上，按照進度，執教的課題為“二倍角的三角函數（2）”.工作室兩位青年教師自行備課，進行同課異構.

方案一

（一）問題情境

考考你：在半徑為R的圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取使得矩形面積最大？

溫習公式：sin2α=__________；cos2α=_________= ________=__________；tan2α=__________.

降冪公式：cos2α=__________；sin2α=__________.

（二）深化理解

例4化簡或求值.

解題收獲：

例5求函數y=sin2x+sinxcosx-1的值域和單調遞增區間.

（三）拓展探究

如圖3，扇形AOB的半徑為1，中心角為60°，四邊形PQRS是扇形內接矩形，問：P在怎樣的位置時，矩形PQRS的面積最大？并求這個最大值.

（四）課堂小結

方案二

（一）基礎回顧

求值：（1）sin15°sin75°=________；

圖3

（二）典例分析

按教材中的例1，例2，例3.其中，例1前補充教材中的思考題.

（三）練習（同方案一的拓展探究）

（四）課后小結

【反饋、感悟】

透過這堂課，結合筆者多年的教學實踐，談一些對“用教材教”的認識，以下側重于新授課教學，談如何找準“忠”與“創”的平衡點.

1.整體框架設計——找準“忠”與“創”平衡點

從整體架構上看，方案一對教材有所改編，從思考題入手，把思考題作為第一道問題解決（應用題），再進行變式，即教材的例3；例4的兩小題涵蓋了教材的例1、例2，改例2的證明為求值，又增加了一道例5，這道題與近年各地的高考題類似，通過降冪公式求函數的值域和單調遞增區間.可見，方案一對教材有所創造，它增加了課堂的知識容量和思維容量，對學生思維訓練有利.課堂反饋如下：第一道思考題，學生不會解答，費時較多，例5剛結束下課鈴就響了，然后匆匆小結，拓展探究只能留課后.教學設計如何改進？因時間超出了，只能做“減法”.其一，減少例5，雖然例5是運用降冪公式，連接高考，比較重要，但考慮時間因素，放在單元復習課比較合適.其二，費時多主要表現：（1）例1用展開和降次兩種方法求解，適度的一題多解，是培養發散思維的需要，不能減少；（2）對思考題的處理用時過多，需要作調整.可見，對教材的再創造有一定的風險.

方案二尊重教材，忠于教材，大部分保留教材內容，只有在開始增加了逆向思考的練習，把思考題放在例3前，增加了一道探究練習.課堂反饋如下：課堂推進比較順利，但教師的個性和創造性沒能體現，對學生的思維訓練略顯不足.

教材的編寫方式通常是直接給予式，“冰冷知識”的直接呈現，隱去了知識形成的艱辛和知識發展的“火熱思考”，課程改革倡導探究式學習，因此我們進行整體設計時，要提供素材讓學生經歷探索過程，用“火熱的思考”積累數學基本活動經驗，學會學習數學，這是一個學生主動“攫取”的過程，也就是“教人以漁”.這樣，教師創造性地將教材改編為學生追求、探索、發現、爭鳴、建構、總結、應用的科學有序的完善程序，做到變教材的“授”為學生的“取”，［1］重構框架，整合出彩.

2.創設問題情境——找準“忠”與“創”平衡點

方案一的課堂反饋：教師問了第一個學生，回答：連接AC，BD，在說幾個角之間的關系.教師覺得方向不明，提示學生學以致用，可以設一個角來解決，然后問了第二個學生，回答“不會”.第三個同學站起來說，連接AC，過點O，教師追問其理由，學生回答：圓周角所對的弦是直徑.可以設∠BCA=α，則BA=2Rsinα，BC=2Rcosα，矩形ABCD的面積S=BA·BC=4R2sinαcosα=2R2sin2α，最大值為2R2.當且僅當sinα=cosα，α=45°，此時截取的矩形為正方形，面積取得最大值.

變式反饋：不少學生能想到，連接OB，設∠BOA=α，則BA=Rsinα，BC=2Rcosα，矩形ABCD的面積S=R2sin2α.情境及變式大約11分鐘.

“考考你”的情境，是課本上的一道思考題，學生是四星級重點高中的一個層次較高的班級，為何還出現這般冷場？利用三角工具解決一些實際問題，既是高考考查的重點內容，也是培養學生分析、解決問題能力的訓練素材，更是培養學生核心素養“數學建模”的需要.但是通過設角建模，高一學生還是初次接觸，許多同學想不到是很正常的，不足為奇.而經過教師富有耐心地循循善誘，才化解此冷場局面.后來的變式，學生已經有剛才的“設角”經驗，能順利解決.

其實，本課設置這個問題情境，其必要性值得商榷.設置該情境，從實際問題引出，有助于學生對二倍角重要性的理解，有利于學生數學興趣的激發.然而，一節課的初始，問題情境偏難，費時偏多，數學探索的成本偏大了.另外，這節課是二倍角公式學習后的一節數學應用，作為學習的情境價值不大.

如何改進？可以進行如下兩種處理.處理一：這個情境如果能放在二倍角的三角函數（1）開始呈現，讓學生產生憤悱狀態，到本節課解決，可能比較合適.處理二：尊重教材，按教材的順序，先提出思考題“考考你”，思而不解，略作思考后，處理例1、例2、例3，解答后返回解決思考題，這樣問題從易到難的設置，讓學生拾級而上，學生有解決例3的經驗，解決此思考題也不困難.教師需要再強化三角應用題的“貴在一設”（設角），不但節省時間，學生也得到了更多的思維訓練，還使得學生增強了解決問題的信心.在議課時，也有老師認為干脆把思考題與例3的順序對調，解決更順暢.筆者覺得這是不妥的，因為圓內接矩形的情境比半圓內接矩形更符合實際，情境的自然性決定了先出現圓內接矩形，比較合理.

圖4

創設情境的根本目的是為了引發學生思考，建構數學，無論是設置生活情境，提出問題，還是立足數學內部提出問題.如何創設情境主要取決于所教內容.如平面向量的基本定理，一位智慧教師創設下列生活情境，［2］投影圖片（如圖4）并解說：當前朝韓局勢十分緊張，猶如箭在弦上，這枚攻擊性的火箭炮在升空的某一時刻，速度可以分解為豎直向上和水平向前的兩個分速度.提出問題：設該火箭炮發射某一刻的速度為v，其水平、豎直分速度分別為vx、vy，你能用vx、vy的式子表達v嗎？創設該直觀情境，有益于學生激發興趣，全神貫注投入思考.有的內容難在抽象，可以創設直觀情境，如讓學生動手畫圖、實驗等，在親歷操作中感受新知.有的內容在一些章節的“途中”，蘊含著一定的邏輯順序，如“二項式定理”，我們可以從知識的前后聯系中創設情境：由多項式法則可以知道（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的三個展開式，你能寫出（a+b）n的展開式嗎？這樣從數學內部創設問題情境，有利于數學活動直達數學本質.

3.例題選編與方法小結——找準“忠”與“創”平衡點

因現在部分學校要求學生課前有預習，課中有時也閱讀課本，如果原封不動地給出，學生會感到索然無味.為了提升教材例題、習題的教學功能，需要對課堂的例、習題進行適度改編，有的問題要適當變式，把握其度.

本課的例1可以作如下改編.

觀察這兩個命題，形式類似，一個為正弦，一個為余弦，稱為“對偶命題”，顯示對稱美、和諧美.

這個是課本上的問題.

例2不用改編，屬于難題，右邊有個“1”，方向尚明確.如果改成化簡，則學生沒有方向，更難下手.本例知識、方法的綜合性較強，既有正弦、正切兩個三角函數名，又有50°，10°兩種角，一般是通過“切”化“弦”，消除函數名的差異；通過把asinα+bcosα化為一個角的形式，變為sin40°，即cos50°，出現了2sin50°cos50°，可以逆用二倍角公式，得sin100°，通過互余變換，獲得解答.

從課堂反饋，兩位老師的小結尚有不足.解題教學，要遵循波利亞的解題表，解題后需要回顧反思，尋求規律，進行小結.其一，解決三角綜合問題的基本思想是消除差異，通過三角變換（角變換、名變換及升降冪變換）；其二，對于例2的關鍵點，形如1+tanα的模型，要適

，否則學生印象不深，效果不佳.之后再小結一下解決這類問題的基本方法是“切化弦”，然后通分化為一個角的形式，所謂解決問題的模型思想.

在新授課上，重點是編創好合理的問題鏈，環環相扣，使學生的探索步步深入.對于這堂類似習題課上，選編、改編好典型例、習題，也是重點，那具有內在聯系、層層漸進的例題、練習題，既能鞏固知識，構成思維訓練問題鏈，又能提升學生解決問題的能力.另外，需要特別指出的是要理解學生.因為學生是學習的主體，只有關注學情，從學生的學習經驗出發，才能準確把握整體框架設計、教學情境創設及適當選擇例題習題.如果學校的檔次比較高，班級又處于中等偏上的水平，那么在創編能力訓練問題鏈時，就須適當提高教學的密度和難度，增強學生的思維量；如果學生層次低，就必須降低思維要求，增強學生的成功感，讓不同的學生在數學上得到不同的發展.

不少數學教師認為這堂三角函數常態課內容單薄、平淡無奇，難以出新、出彩.當同行們閱讀完本文后，會有一種不一樣的感覺，經過我們上述分析、創編，平淡無奇的“家常課”竟也呈現出飽滿、生動、深刻的特點.如果我們在日常的工作中，始終擁有一顆好奇心、探究心，做一個研究者，一直在路上，那么“我們在數學教學工作中所做的一切就都可以變成一種高尚的享受”，提升幸福指數，在這樣的工作中永遠也不會產生所謂的“職業倦態”.當變式為

1.武瑞雪，黃安成.忠于教材不囿于教材［J］.中學數學（上），2010（12）.

2.王華民，鄭寶生，阮必勝.教師“貼地”而行學生“翩翩”起舞［J］.數學通報，2014（5）.F