解題中應加強學生的模型辨別
——從一道函數模型問題談起

筅山東省鄒城市第二中學陳玉偉

解題中應加強學生的模型辨別
——從一道函數模型問題談起

筅山東省鄒城市第二中學陳玉偉

高中數學解題千千萬，然而若能培養學生模型辨別，則可以解決眾多類似問題.例如，高中數學許多問題圍繞函數展開.對于同一個函數問題，我們可以有一些相近意思的理解，因此可確定不同的函數模型進行研究，但是由于函數模型結構的差異、參量個數的不同，對于后續研究的難易程度會天差地別.筆者以一道函數問題為例，談談這類問題的一般步驟.

一、題目呈現

設函數f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論.

二、解法分析

解：（1）略（2）當a≤0時，g（x）必為單調增函數

當a>0時，令g′（x）=ex-a>0，解得alna

∵g（x）在（-1，+∞）上單調增函數，∴lna≤-1即0

②當a<0時f（ea）=a-aea=a（1-ea）<0，f（-1）=-a>0，且函數f（x）在［ea，1］上圖像不間斷∴f（x）在（ea，1）上存在零點.另外，當x>0時，f′（x）=-a>0，故（fx）在（0，+∞）單調增函數，∴f（x）只有一個零點.

③0

當00；當x>a-1時，f′（x）<0；

∴x=a-1是f（x）的最大值，且最大值為f（a-1）=-lna-1

（i）當-lna-1=0，a=e-1時，f（x）有一個零點

（ii）當-lna-1>0，0

三、模型提煉方法引申

本題為典型研究函數單調性求函數值域問題，筆者進行研究歸納出高中階段研究函數三步驟僅供大家參考.（確定函數：確定函數解析式及定義域（研究函數：研究函數性質及圖像（解決問題：根據性質解決函數問題.學生學習完導數之后對于給定不含參量的函數解析式均能研究，因此三步驟中最關鍵的應是第一步：確定函數.

因此筆者根據以幾種不同相近的理解，確定幾種相近解析式，通過比較難易程度進行歸納選取何種解析式較好.因此題（2）還可以有其他解法：

方法2：將f（x）=0變形，lnx-ax=0圯lnx=ax，

①確定函數：確定函數解析式及定義域：

同時研究y1=lnx，y2=ax兩個函數定義域為（0，+∞）

②研究函數：研究函數性質及圖像：

兩個函數兩個函數單調性均較為簡單，因此我們借助圖像研究

圖1

（1）a≤0時，由圖像可知兩曲線只有一個交點（圖1）

（2）a>0時，由圖像可知兩曲線可能有一個交點（圖2）可能兩個交點（圖3），臨界情況為相切，因此先算出相切時a的值.

圖2

圖3

③解決問題：根據性質解決函數問題

綜上所述：當a≤0或a=e-1時，f（x）的零點個數為1，

當0

方法3：法2中同時根據lnx-ax=0圯lnx=ax，同時研究y1=lnx，y2=ax

筆者在此基礎上進行變形lnx-ax=0圯lnx=ax圯a=

同時研究y1=a

①確定函數：確定函數解析式及定義域：

②研究函數：研究函數性質及圖像：

③解決問題：根據性質解決函數問題根據圖4可知：

當a≤0或a=e-1時，f（x）的零點個數為1，當0

反思：三種方法均為本題探究零點問題的理解，但是后續研究問題的復雜程度，難易程度差距很大.方法1直接研究f（x）本身，方法2通過變形進行轉化研究兩個較為簡單的函數，方法3在方法2的基礎上進一步簡化為一個常數函數與一個不含參量的函數（俗稱參變分離）大大減少運算量.因此我們應盡量利用參變構造出這兩類函數簡化運算.

圖4

四、鏈接試題，鞏固提升

（2）設g（x）=x2-2bx+4.當a=時，若對任意x1∈（0， 2），存在x2∈［1，2］，使

f（x1）≥g（x2），求實數b的取值范圍

在研究函數問題時第一步確定函數往往決定了整題研究的難易程度.按照參變分離確定一個常數函數與一個不含參量的函數進行研究函數問題可以避免討論參數與區間關系進而大大減少運算量.

五、思想提煉反思提升

波利亞認為，解題后反思是有效解題的一個重要而有益的階段，反思整個解題過程，并再次思考、核實結果及獲得結果的方法，從而掌握數學知識，并培養數學解題能力.對于同一個函數問題，可確定不同的函數模型進行研究，但是由于函數模型結構的差異、參量個數的不同，對于后續研究的難易程度會天差地別.研究函數三步驟中第一步非常關鍵，我們遇到含參量問題時，應盡量確定一個常數函數與一個不含參量的函數進行簡化，這樣往往有意想不到的簡化效果.

教師要引導學生學會解題后反思：這道題主要考查了哪些知識點？最優解法是哪種？對于相同的題型，要歸納通法通解，對于不同的題型要熟知解題策略.在平時的教學中，教師要先行深度剖析這類問題，才能從容歸納問題的普遍性與特殊性，才能有效地指導學生解題后反思.學生需要反思：幾個變式主要涉及到哪些知識點？解法之間有怎樣的聯系？一些解法的本質是什么？諸多解法中最優解法是哪個？能否歸納通法通解？解決最值問題的一般方法有哪些？通過解題后反思，學生再次面對最值問題時不再霧里看花般觸摸不到，并讓他們體悟歸納具體題型的解題方法，養成勤于探究、及時反思的好習慣.