提高解題能力，打造高效課堂
——以一道高考題的研究為例

筅浙江省臺州中學畢里兵

提高解題能力，打造高效課堂
——以一道高考題的研究為例

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波利亞在《怎樣解題》中指出：要想提高學生的解題能力，必須逐漸地培養學生思維里對題目的興趣，并且給他們足夠的機會去模仿、實踐和探究.試題的編寫凝聚了編者的無數心血，是課堂教學的寶貴資源.在教學過程中，應充分利用好經典試題，發揮其潛在的思維訓練價值，培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，下面以一道高考題為例來談.

一、試題

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓方程：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）.（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設點T（t，O）滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得求實數t的取值范圍.

圖1

二、解法探究

這是2016年江蘇高考卷18題，題目設計以向量為背景，讓考生經歷幾何問題轉化為代數問題的過程；同時又蘊涵著豐富的變化過程，首先把T看作定點，直線PQ看作平行直線系，在變化過程中存在弦長PQ與線段TA相等即存在，揭示了動中有靜、靜中有動、動靜相宜的數學特征.依托運動找到解決問題的方法，求解過程簡單，而思維過程艱難.

解法2：利用題中條件P，Q在圓M上來尋找代數關系.設P（x1，y1），Q（x2，y2）.

圖2

解法3：點P在圓上，容易想到圓的參數式.設點P（6+ 5cosθ，7+5sinθ），設AP的中點K由于TQ中點為K，由此得到點Q坐標（8+5cosθ-t，5sinθ+ 11），利用點Q在圓上，得到關系：t2-4t+20=（10t-20）cosθ-40sinθ；由輔助角公式得（其中（t-2）cosφ=4sinφ）；

在直線與圓的教學中，應幫助學生經歷如下的過程：用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題；分析代數結果的幾何含義，將代數問題轉化成幾何問題來解決.通過上述過程，讓學生感受用解析法研究問題的一般程序，幫助學生不斷地體會數形結合思想.本解法從代數的角度將點在圓上轉化為方程組有解問題，是形到數的轉化；然后將方程組的解轉化成兩個圓的有公共點問題，是數到形的轉化，是解決本題的關鍵所在.與解法一、解法二比較，解法三思維起點低，學生容易理解，思路清晰，但運算繁瑣，特別是用輔助角公式，要注意題目中把（t-2）2作為整體來運算才能得到完整解法.

三、試題溯源

本題的第（1）問是求圓心在定直線上，且與定直線與定圓相切的圓方程，實際上就是蘇教版必修2第116頁例2的變式：

求過點A（0，6）且與圓（x-1）2+（y+2）2=4切于原點的圓方程，類似習題還有第117頁第4，6題；

第（2）小問是已知直線斜率與直線被圓所截的弦長求直線方程，源于必修2第117頁習題第2題：過點P（-1，-2）作直線l與圓（x-1）2+（y+2）2=4相交，且所截得的弦長為2的直線方程；

第（3）小問以向量為背景，如果考生能將向量問題轉化成解析幾何問題，解法2就會變成水到渠成.蘇教版必修2第116頁第2題：若圓x2+y2=m，與圓x2+y2+6x-8y-11= 0相交，求實數m的取值范圍；第117頁第5題：已知圓（xa）2+y2=1，與圓：x2+y2=25沒有公共點，求a的取值范圍. 2016年高考題僅僅是給出一個情景，把課本基礎題進行重組、引伸、拓展.本題源于課本而高于課本.

四、幾點思考

1.鼓勵學生主體參與

現代課程觀認為，教學活動是師生共同探求知識的過程，是教師、學生、教材、環境等諸多因素相輔相成的動態成長的構建過程，教學活動要充分體現學生的個性，充分落實學生的主體地位，以促進學生的發展為目標.因此，教師將原本學生無從下手的試題引導學生主體參與變式，變式的呈現具有小步子、層層推進、螺旋上升的特點，鼓勵學生呈現不同的思維過程，促使學生思維的廣度得以延伸，思維的深度得以挖掘，并讓學生觸及高中數學解決最值問題的思想與方法.

2.指導學生解題后反思

波利亞認為，解題后反思是有效解題的一個重要而有益的階段，反思整個解題過程，并再次思考、核實結果及獲得結果的方法，從而掌握數學知識，并培養數學解題能力.教師要引導學生學會解題后反思：這道題主要考查了哪些知識點？最優解法是哪種？對于相同的題型，要歸納通法通解，對于不同的題型要熟知解題策略.在平時的教學中，教師要先行深度剖析這類問題，才能從容歸納問題的普遍性與特殊性，才能有效地指導學生解題后反思.學生需要反思：幾個變式主要涉及到哪些知識點？解法之間有怎樣的聯系？一些解法的本質是什么？諸多解法中最優解法是哪個？能否歸納通法通解？解決最值問題的一般方法有哪些？通過解題后反思，學生再次面對最值問題時不再霧里看花般觸摸不到，并讓他們體悟歸納具體題型的解題方法，養成勤于探究、及時反思的好習慣.