不等式恒成立問題的求解策略

筅湖北省荊州市荊南高級中學肖黎明

不等式恒成立問題的求解策略

筅湖北省荊州市荊南高級中學肖黎明

恒成立問題是指題設中含有恒成立條件（如不等式）的問題.此類問題具有“變”中有“不變”的特點，其題型涉及高中數學的多個分支，且容易與相關問題混淆而產生錯誤.不等式恒成立問題涉及不等式及函數的性質、公式等知識，有一定的難度，因而成為近年高考測試中的常見題型.為了對不等式恒成立問題的解題方法有一個更加全面的認識，筆者結合實例，對這類習題的類型和方法進行了歸納總結.

一、一元二次不等式在實數集R上恒成立問題

一元二次不等式在實數集R上恒成立問題，可利用“判別式法”，即利用：ax2+bx+c>0（a≠0）的解集為R圳a> 0且Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）的解集為R圳a<0且Δ<0直接求解.

例1已知f（x）=ax2+ax+a+3在R上恒有f（x）>0，求實數a的取值范圍.

解析：當a≠0時，依題意知a>0且Δ<0，即a>0且-3a2-12a<0，故a>0.

當a=0時，f（x）=3>0也符合題意，故實數a的取值范圍是a≥0.

二、定區間上的不等式恒成立問題

（1）可先構造函數，將不等式變為f（x）>0或f（x）<0.若要使f（x）<0在［m，n］上恒成立，則先求出f（x）在［m，n］上的最小值f（x）min，只要f（x）min>0即可滿足題意；若要使f（x）<0在［m，n］上恒成立，則先求出f（x）在［m，n］上的最大值f（x）max，只要f（x）max<0即可滿足題意.

例2已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），若函數f（x）=a·b在區間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍.

解析：依題意知f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，則f′（x）=-3x2+2x+t.因f（x）在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上f′（x）≥0，而上的f′（x）min=f′（-1）≥0，即-3-2+t≥0，故t≥5.

（2）若不等式中的參數a與未知數x可分離，即可得到a>f（x）或af（x）在［m，n］上恒成立，則先求出f（x）在［m，n］上的最大值f（x）max，只要a>f（x）max即可滿足題意；若要使a

例3題目同例2.

解析：依定義知f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，則f′（x）=-3x2+2x+t.因f（x）在（1，-1）上是增函數，則在（-1，1）上f′（x）≥0，從而t≥3x2-2x在區間（-1，1）上恒成立.

考慮函數g（x）=3x2-2x，由于函數g（x）的圖像是對稱軸為x=且開口向上的拋物線，由t≥3x2-2x在區間（-1， 1）上恒成立圳t≥g（-1），即t≥5.

而當t≥5時，f′（x）在（-1，1）上滿足f′（x）>0，即f（x）在（-1，1）上是增函數，故t的取值范圍是t≥5.

（3）巧設變量，避開二次函數，利用函數的單調性直接求解.

例4對于滿足0≤p≤4的實數p，不等式x2+px>4x+ p-3恒成立，試求x的取值范圍.

解析：設f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，顯然f（p）在p∈［0，4］上的圖像是直線.要使不等式x2+px>4x+p-3恒成立，只需f（p）在［0，4］上恒大于0，即解得x>3或x<-1.

三、冪、指、對函數的不等式在定區間上的恒成立問題

對于含冪、指、對函數的不等式在定區間上的恒成立問題，可構造2個函數，利用“數形結合”直觀求解.

例5若不等式x20且a≠1）成立，求實數a的取值范圍.

解析：在同一坐標系中作出函數y=x2與y=logax（a>0且a≠1）在（0，+∞）上的圖像.由圖1可知x2>logax恒成立，不滿足題意.由圖2，要使不等式x2

圖1

圖2