直線與圓中一道數量積為定值問題的探究

筅湖北省黃石有色第一中學余明

直線與圓中一道數量積為定值問題的探究

筅湖北省黃石有色第一中學余明

例1如圖1所示，已知以點A（-1，2）為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切.過點B（-2，0）的動直線與圓A相交于M，N兩點，Q是弦MN的中點，直線l與l1相交于點P.

（1）求圓A的方程.

解析：（1）圓A：（x+1）2+（y-2）2=20.（過程略）

（2）①當直線l與x軸垂直時，易知x=-2，符合題意.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y= k（x+2）.

圖1

當直線l與x軸不垂直時，y=k（x+2），且（x+1）2+（y-2）2= 20，則因為|MN|=2，所以|AQ|=1.

故直線l的方程為3x-4y+6=0.

綜上，所求直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.

例2已知圓C：x2+（y-3）2=4，一動直線l過A（-1，0）與圓C相交于P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+ 6=0相交于點N.

解析：（1）①當直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+ 1）.

故直線l的方程為4x-3y+4=0.

綜上，所求直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+ 1），由

例3圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2，過定點A（x0，y0）的直線l與圓C交于P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：y=kx+m相交于N，探索k為何值時為定值與直線l的斜率無關.

圖2

（1）若x0≠a，y0≠b，因為AC⊥m，所以

（2）若x0=a，或y0=b，亦可得到為定值，不再贅述.

例1的第（3）問也可以這樣解答：kAB=2，直線l1的斜率，所以滿足l⊥AB.1

又x0=-2，y0=0，a=-1，b=2

此方法是運用數量積的定義，轉化成投影來計算，從而得出數量積為定值的條件是AC⊥m，與直線l的斜率無關.這也是向量問題的妙解，除了常規的解析法通過大量的計算來解答，結合向量的加減運算和數量積的定義的運用能夠事半功倍！在此不僅求出定值，而且弄清楚為什么會是定值，最終轉化成求點到直線的距離和兩點間的距離的積或積的相反數.F