高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧

筅江蘇省宜興中學(xué)石琳

高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧

筅江蘇省宜興中學(xué)石琳

對(duì)于我們這些高中的學(xué)子來說，面臨著即將到來的高考.高考是我們?nèi)松幸粋€(gè)巨大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在一定程度上決定著我們以后的命運(yùn)及生活的優(yōu)劣，因此，我們一定要花費(fèi)百倍努力在高考的平臺(tái)上打一個(gè)漂亮的勝利仗，完美地發(fā)揮出我們自身的潛力，不讓之前的努力成為無用功，讓社會(huì)認(rèn)識(shí)到我們自身的價(jià)值.在高考的備考中，數(shù)學(xué)是一門非常重要的課程，但是由于高考出題人的出題技術(shù)非常的高超，我們要靈活地運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.本文將以高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧為主題進(jìn)行詳細(xì)的討論和分析，介紹如何進(jìn)行高效的數(shù)學(xué)備考.

一、熟練掌握立體幾何的數(shù)學(xué)知識(shí)

如果只是討論數(shù)學(xué)立體幾何的知識(shí)，并不是特別的復(fù)雜，但是如果將其他數(shù)學(xué)知識(shí)與幾何問題相結(jié)合，我們所要學(xué)習(xí)的知識(shí)就會(huì)幾何式的增加.所以，我們要首先進(jìn)行立體幾何知識(shí)的熟練掌握，然后不斷了解這些知識(shí)之間的聯(lián)系，不斷建立出一個(gè)完整的立體幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)，便于之后的復(fù)習(xí)和提高，最后，我們要不斷掌握其他數(shù)學(xué)知識(shí)與立體幾何相結(jié)合的解題技巧.我們通過不斷進(jìn)行知識(shí)的積累和掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，不斷在立體幾何習(xí)題中熟練運(yùn)用所學(xué)的知識(shí).下面對(duì)相關(guān)的立體幾何知識(shí)進(jìn)行簡單的總結(jié)和分析.第一，在理解的情況下進(jìn)行相關(guān)定義的掌握.在立體幾何的習(xí)題中，我們經(jīng)常看見一些比較特殊的空間幾何體，如果我們對(duì)其主要的定義都不了解，更別說運(yùn)用其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解答了.比如，直棱錐是側(cè)棱與底面垂直的特殊幾何體，正棱柱是底面為正多邊形的直棱柱，正棱錐是底面為正多邊形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面多邊形的中心，正四面體是四個(gè)面都是正三角形的幾何體，正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)面為等腰三角形的幾何體等.我們?cè)趯W(xué)習(xí)這些特殊的幾何體時(shí)，不要死記硬背，要找到其中的共同點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶，便于以后我們?cè)诹?xí)題中熟練運(yùn)用.另外，我們要對(duì)相關(guān)知識(shí)的解題方法進(jìn)行熟練的運(yùn)用.

比如，在幾何大題中經(jīng)常出現(xiàn)的線線角、線面角、面面角的求解方法.下面對(duì)其中的線面角進(jìn)行簡單的分析.首先，我們要了解線面角的范圍，避免在進(jìn)行解答的時(shí)候出現(xiàn)兩個(gè)答案，造成解題的錯(cuò)誤.其次，我們要熟記面面角的解題公式.線面角的求解方法主要有兩種，一種是通過向量的方法進(jìn)行建立三維直角坐標(biāo)系，將所需要的線段用向量的方法進(jìn)行表示出來，然后通過線面角的求解方法和向量法的化簡技巧進(jìn)行解答，這種解題方法是比較簡單的，容易進(jìn)行理解和解答，但是解題的過程比較煩瑣，會(huì)花費(fèi)大量的做題時(shí)間.如果這是一道三問的大題，下面的幾問也可以運(yùn)用向量的方法進(jìn)行解答.另一種就是通過我們的立體幾何思維，找出其中的相關(guān)聯(lián)系，不斷進(jìn)行所需要的線段長度，運(yùn)用面面角的求解公式進(jìn)行解答.這種求解方法對(duì)我們的思維有一定的要求，不然很容易出錯(cuò).這兩種的解題方法我們都要有所掌握，對(duì)于一些簡單的面面角求解采用第二種方法進(jìn)行解答，節(jié)約高考中寶貴的時(shí)間.最后，我們還要對(duì)相關(guān)的方程進(jìn)行記憶，比如橢圓的軌跡方程，拋物線的軌跡方程等.總而言之，通過我們不斷進(jìn)行相關(guān)立體幾何知識(shí)的積累和思考其中的聯(lián)系，逐漸熟練掌握并能夠加以運(yùn)用，構(gòu)建出適合自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，為立體幾何的解題打下夯實(shí)的基礎(chǔ).

二、培養(yǎng)提高立體幾何的思維空間

對(duì)于高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，我們空間思維的建立是非常重要的，通過我們的思維空間能夠快速地了解題目中相關(guān)題干，便于解題時(shí)的運(yùn)用，另外，我們也能夠通過相關(guān)空間解題方法在原立體幾何中添加合適的輔助線，來幫助我們清楚求解的目標(biāo).我們思維空間的建立，并不是通過知識(shí)的學(xué)習(xí)就能夠掌握的，需要我們通過對(duì)事物的觀察和思考.下面具體介紹如何在立體幾何解題中來提高自己的思維空間.在我們進(jìn)行立體幾何習(xí)題的解答中，經(jīng)常遇到在一些對(duì)特殊幾何體進(jìn)行計(jì)算的習(xí)題，題干中會(huì)給我們一些立體幾何的圖形.當(dāng)我們的思維空間能力不強(qiáng)的時(shí)候，很難從中找到相應(yīng)的解題方法.這個(gè)時(shí)候我們可以通過手工來自己制作一個(gè)簡易的立體幾何圖形，來幫助我們進(jìn)行解答，同時(shí)不斷培養(yǎng)和提高自己的思維空間.在我們進(jìn)行制作簡易圖形中也可以不斷加強(qiáng)對(duì)特殊立體幾何性質(zhì)的記憶，另外，在進(jìn)行這樣的立體幾何解題中，所給出的圖形并不適合我們的直接觀察，可以將制作出的簡易圖形進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，能夠直觀地觀察到線段之間的聯(lián)系，來幫助理解和解答.最后，我們可以通過相關(guān)的多媒體設(shè)備進(jìn)行培養(yǎng)和提高自己的思維空間.通過互聯(lián)網(wǎng)我們可以找到一些立體幾何圖形翻轉(zhuǎn)的視頻或者動(dòng)態(tài)圖，在觀察中不斷建立自己的思維空間.通過運(yùn)用互聯(lián)網(wǎng)和相關(guān)的多媒體設(shè)備，以及自己制作相關(guān)的立體幾何簡易圖形，來不斷建立自己的思維空間，進(jìn)行發(fā)散思維思考和仔細(xì)的觀察，進(jìn)一步提高自己的思維空間.

三、大量豐富立體幾何的練習(xí)解答

對(duì)于我們高中生來說，都非常清楚地知道數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和提高，離不開大量的數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練，當(dāng)然立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)也不例外.大量練習(xí)題的訓(xùn)練是必可少的，但是我們要保證訓(xùn)練的高效性，不能只是為了完成大量的訓(xùn)練，我們要從大量的習(xí)題中總結(jié)相應(yīng)的方法，來不斷提高自己的解題能力.下面介紹幾道立體幾何的習(xí)題來進(jìn)行詳細(xì)的分析.比如下面這道立體幾何的證明題.題目是這樣的，如圖1，已知正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底邊邊長為3，側(cè)棱長為4，連接A′B，過點(diǎn)A作AF垂直于A′B，垂足為點(diǎn)F，且AF的延長線交B′B于點(diǎn)E.證明D′B垂直于平面AEC.求解三棱錐B-AEC的體積，以及二面角B-AE-C的大小.對(duì)于第一問的證明，我們可以通過作輔助線AC，運(yùn)用正四棱錐的性質(zhì)，利用三垂線定理，來進(jìn)行證明D′B垂直于平面AEC.對(duì)于第二問，我們不難發(fā)現(xiàn)直接運(yùn)用三棱錐體積的求解公式，很難進(jìn)行解答，因?yàn)樗枰木€段長度題干中沒有給出，也不能快速的進(jìn)行計(jì)算.所以，我們要發(fā)散思維，找出與三棱錐B-AEC的體積相同的其他幾何圖形進(jìn)行解答，或者我們通過轉(zhuǎn)變?nèi)忮F的頂點(diǎn)來進(jìn)行計(jì)算，通過我們的觀察，以點(diǎn)E為頂點(diǎn)，三角形ABC為底面的三棱錐的體積便于解答，底面三角形的面積和三棱錐的高非常容易計(jì)算出來.然后通過三棱錐體積的求解公式進(jìn)行代入求解.對(duì)于第三問，求解二面角，首先我們要找到哪一個(gè)是所要求解的二面角，只通過表面的觀察及二面角的定義，我們可以確定二面角與點(diǎn)F，B有關(guān)，再通過分析和作輔助線CF，如圖2，最終確定∠BFC為我們所求的二面角，明確自己的求解目標(biāo).然后對(duì)于這個(gè)二面角的計(jì)算我們可以通過三角形CBF，運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行解答，接下來就是計(jì)算我們所需要的線段BF的長度，通過三角形相似的證明求解出線段BF的長度，最后運(yùn)用三角函數(shù)求解出二面角.對(duì)于這一道立體幾何習(xí)題，我們可以從中了解到三棱錐的體積求解的變換，以及二面角的確定，再通過相關(guān)立體幾何知識(shí)的靈活熟練運(yùn)用.通過我們進(jìn)行大量的立體幾何習(xí)題訓(xùn)練，提高做題的效率，在訓(xùn)練中不斷進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)及相關(guān)的轉(zhuǎn)換方法，更加清晰地了解相關(guān)題目的解題思想，進(jìn)一步提高自己的解題能力.

圖1

圖2

四、合理運(yùn)用立體幾何的解題技巧

在立體幾何的解題中，存在一些解題的技巧，我們要熟練地掌握這些技巧，進(jìn)一步提高立體幾何的解題能力，并能夠幫助我們進(jìn)行快速的解答.在解題技巧中，常見的有這幾種技巧、割補(bǔ)法、向量法、添加輔助線法等.向量法適合于大部分的立體幾何求解中，雖然煩瑣但是解題的思路比較簡單，而且非常容易進(jìn)行學(xué)習(xí)和掌握，只要提高自己的計(jì)算能力，就能夠正確的解答.所以，向量法是我們?cè)诟咧辛Ⅲw幾何學(xué)習(xí)中必須要掌握的一種解題方法，而且有的學(xué)校只重點(diǎn)進(jìn)行向量法的講解.但是，向量法卻會(huì)在高考中浪費(fèi)大量的寶貴時(shí)間，而且對(duì)于一些不適合建立坐標(biāo)系的立體圖形，還需要進(jìn)行坐標(biāo)系建立的選擇，并不是一個(gè)適合的解題方法.輔助線的方法可以說是在立體幾何解答中一定會(huì)運(yùn)用的方法，一個(gè)輔助線的添加可以讓一個(gè)難題變得非常簡單，由此可見，添加輔助線的重要性.下面我們舉例說明輔助線在立體幾何解答中的作用.比如下面的這道立體幾何習(xí)題.如圖3，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC的中點(diǎn)，沿AE將三角形AED折起，使二面角D-AE-B為60度.求DE與平面AC所成角的大小，以及二面角D-EC-B的大小.這道題在一定程度上考驗(yàn)我們的空間思維能力.我們首先要了解當(dāng)沿著AE折起之后的圖形是怎么樣的，這樣才能進(jìn)行解答.然后，我們通過對(duì)立體圖形的觀察，找不到DE與平面AC所成角，所以，我們要通過添加輔助線的方法來作出所求的角.作出如圖4所示的輔助線，連接OE，得出我們所要求的角為∠DEO，在三角形DOM中利用三角函數(shù)的求解公式進(jìn)行解答.通過所添加的輔助線進(jìn)行相關(guān)線段長度的計(jì)算，最后計(jì)算出∠DEO.在第二問的解答中，通過自己的思維空間進(jìn)行畫圖，作出如圖5所示的輔助線進(jìn)行解答，利用相關(guān)的二面角的計(jì)算公式進(jìn)行逐步的解答.針對(duì)這道立體幾何圖形，如果不利用相關(guān)的輔助線，不能快速地進(jìn)行解答.總而言之，輔助線的合理添加能夠幫助我們快速地進(jìn)行解答，在立體幾何解題中，合理地運(yùn)用相關(guān)的解題技巧，能夠不斷提高我們的解題能力.

圖3

圖4

圖5

五、優(yōu)化整理立體幾何的錯(cuò)題提高

對(duì)于我們高中生來說，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)需要花費(fèi)大量的精力，所以，我們要養(yǎng)成做錯(cuò)題本的習(xí)慣來幫助我們進(jìn)行高效的知識(shí)學(xué)習(xí).在立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到很多的解題技巧和解題思路，其中自然會(huì)有我們所沒有掌握或者沒有見過的，我們要及時(shí)地將其通過錯(cuò)題本的方法來記錄下來，方便相關(guān)知識(shí)的記憶和鞏固.我們不要以為做錯(cuò)題本會(huì)浪費(fèi)我們的時(shí)間，俗話說，好記憶不如爛筆頭.如果我們不進(jìn)行錯(cuò)題本的總結(jié)，會(huì)逐漸忘記我們知識(shí)的漏洞，不能夠及時(shí)鞏固自己的記憶.這樣我們之前進(jìn)行大量的數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練就會(huì)變得毫無意義.總而言之，我們要不斷整理自己之前做錯(cuò)的題目，然后不斷進(jìn)行鞏固和消化，逐漸成為自己的知識(shí)，進(jìn)而提高自己的解題能力.

總而言之，對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的立體幾何問題，我們要不斷進(jìn)行知識(shí)的積累和總結(jié)，通過我們大量的立體幾何訓(xùn)練，構(gòu)建出一個(gè)完整的立體幾何數(shù)學(xué)知識(shí)體系，熟練地運(yùn)用相關(guān)的立體幾何集體技巧，最終能夠快速準(zhǔn)確的進(jìn)行立體幾何的習(xí)題解答.對(duì)于即將面臨高考的我們來說，立體幾何的數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一部分，我們要將這種備考的方法來完美地進(jìn)行其他知識(shí)的學(xué)習(xí)，在高考的數(shù)學(xué)考試中取得一個(gè)優(yōu)異的成績.F