例談高考中對函數零點的考查

筅江蘇省張家港市崇真中學張雪玲

例談高考中對函數零點的考查

筅江蘇省張家港市崇真中學張雪玲

零點問題是近幾年高考考查的熱點問題之一，其涉及數形結合、分類討論、轉化與化歸、函數與方程等多種數學思想.函數零點也是高中數學中的重要知識點，本文筆者通過平時的教學實踐談談一些高考中對函數零點問題的考查.

考查一、零點可求——求解具體的零點

當問題的實質是求函數零點或導函數零點時，別無選擇，必須把零點用解方程辦法算出來.

（1）略.

（2）若f（x）在［3，+∞）上為減函數，求a的取值范圍.

當x

當x10，故f（x）為增函數；

當x>x2時，f′（x）<0，故f（x）為減函數.

點評：函數的單調區間以極值點為界，而極值點又是其導函數的零點，故以導數為工具研究函數的單調性有關問題，常需要計算導函數的零點.

考查二、考查圖像——畫出具體零點

有的問題沒有涉及零點的值，只考查零點的個數，則可以將零點畫出.有的基本初等函數畫出圖像比較容易，而較復雜的函數，則要借助導數，通過求導研究函數的單調性等性質，再畫出示意圖.

例2設函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍；

（2）略.

解析：（1）由f（x）=0圯a（x-1）2=（2-x）ex.

顯然x=1時，a不存在，故x≠1.

所以函數g（x）在（-∞，1）內單調遞減，在（1，+∞）內單調遞增.

又x≥2時，g（x）≥0，x<2時，g（x）<0，且g（0）=-2.

在同一坐標系中作出直線y=-a及函數y=g（x）的圖像.由圖1不難得到a的取值范圍為（0，+∞）.

點評：由此可見，通過畫圖得到函數的零點簡單直觀，避免了煩瑣的討論.

圖1

考查三、數形結合——計算零點與畫出交點相結合

有時所給的零點問題僅僅靠畫圖像無法順利解出，此時可以先通過圖像探路，再利用嚴密的邏輯思維進行推導.

圖2

x1是關于x的方程2x2-x=m，即2x2-x-m=0的較小根.

故x1x2x3的取值范圍是

點評：本題蘊含了函數方程、數形結合、轉化化歸等數學思想，通過畫圖和推演結合，將問題完美解決.

考查四、設而不求——虛設出零點

若涉及的問題是超越方程對應的問題，通過零點存在性定理我們知道函數在某一區間內有零點時，但是解不出來，此時我們不妨采用先設出零點，再利用等式反代入的方法來解決.

例4設函數f（x）=e2x-alnx.

（1）討論f（x）的導函數f′（x）零點的個數；

解析：（1）當a>0時，方程g（x）=a有一個根，即f′（x）存在唯一零點；

當a≤0時，方程g（x）=a沒有根，即f′（x）沒有零點.（具體解答過程略）

（2）由（1）可設f′（x）在（0，+∞）內的唯一零點為x0，當x∈（0，x0）時，f′（x）<0；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）>0.故f（x）在（0，x0）內單調遞減，在（x0，+∞）內單調遞增，所以f（x）min=f（x0）.

由f′（x0）=0，得

考查五、構造函數——兩邊夾法則

（Ⅱ）已知函數f（x）在［-1，1］上存在零點，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

解析：依題意0≤b-2a≤1，得2a≤b≤2a+1，所以x2+ ax+2a≤x2+ax+b≤x2+ax+2a+1，即x2+ax+2a≤f（x）≤x2+ax+ 2a+1.

在解決某些含參變量的函數問題時，常常利用不等式的放縮，采取兩邊夾法則解決.

例5設函數f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）.

令g（x）=x2+ax+2a，h（x）=x2+ax+2a+1，則g（x）恒過點（-2，4），h（x）恒過點（-2，5）.考慮到三個函數都具有相同的對稱軸，因此要使f（x）在［-1，1］上有零點，則函數g（x）向上平移至h（x）的過程中有零點，即與x軸有交點（如圖3）.要使g（x）在［-1，1］上有零點，則解得-1≤a≤0，此時b=2a，所以-2≤b≤0，要使h（x）在［-1，1］上有零點，則解得-2≤a≤4-2，此時b=2a+1，所以-3≤b≤9-

圖3

點評：其實，本題完全可以用前面介紹的方法（零點算出來或零點畫出來）加以解決，但都不如上述方法簡單，筆者旨在說明：一種漂亮解法的得出，需要我們對以往解題經驗的不斷積累，更需要我們對問題有深層剖析，它值得我們學習和借鑒.

考查六、應用導數研究函數零點問題

導數是研究函數性質的重要工具，應用導數研究函數零點，要綜合運用函數的性質，比如對稱性、特殊點，當然，說明函數在區間（a，b）上存在零點，要根據零點存在定理.下面結合具體問題分析運用導數研究函數零點問題的常用方法和難點.

（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明你的結論；

（2）求集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數；

（3）當1

解析：（1）函數f（x）是偶函數，證明略.

（2）方法1：（研究函數自身的零點）

當a>0時，因為f（x）=acosx+xsinx>0成立，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為0.

當a<0時，因為f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+，所以函數f（x）是上的增函數.

由f（x）是偶函數可知，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為2.

綜上所述，當a>0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為0；當a=0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為1；當a<0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為2.

方法2：（參變分離，轉化為判斷兩個函數的交點個數）

綜上所述，當a>0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為0；當a=0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為1；當a<0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為2.

（3）略.

以函數零點相關問題作為高考壓軸大題，就是因其綜合性極強，思想內涵豐富（函數方程，轉化化歸，數形結合，分類整合等），有很好的選拔功能，有難度是必然的，但只要我們從數形兩方面思考，破解這類問題，應該沒有問題.F