例談“去頂點法”處理三視圖問題

筅湖北省武漢市東湖中學馮煒

例談“去頂點法”處理三視圖問題

筅湖北省武漢市東湖中學馮煒

幾何體的三視圖從本質上來說，是將一個幾何體放在某個對應的長（正）方體中，再分別投影到該長（正）方體的里面、右側面和下底面后，所形成的三個平面圖形（其中，側視圖還要將其向右翻折）.因此對于較復雜的三視圖還原出對應幾何體的問題，可將其放到相應的長（正）方體中進行考查，根據題目中給出的三（正、側、俯）視圖，然后通過排除長（正）方體的頂點——“去頂點法”，可以快捷地確定原幾何體的形狀，進而解決相關問題.

例1（1）如圖1，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長棱的長度為（）.

圖1

（2）一個幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的全面積為（）.

圖2

（3）一個幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的各面面積中的最大值為（）.

圖3

圖4

解：（1）如圖4所示，作一棱長為4的正方體.由正視圖知，頂點A、D應去掉；又由俯視圖知，頂點A1應去掉；再由側視圖知，頂點B、B1應去掉.由于正視圖中含有高的中點且為實線，從而應有棱BB1的中點E，這樣一來可確定原幾何體為D1-ECC1.其中，D1C1=CC1=4，D1C=4=6，故最長棱的長度為D1E=6，故應選B.

圖5

（2）如圖5所示，作一長、寬、高分別為6、6、4的長方體.由正視圖和側視圖知，頂點A1、B1、C1、D1應去掉；又由俯視圖知，頂點C應去掉；再由正視圖和側視圖知，應有上底面的中心O，從而可知原幾何體為三棱錐O-ABD.其中，AB=AD=6，BD=6，OA=OB=OD=.從而可求得三棱錐O-ABD的全面積為48+12應選A.

（3）如圖6所示，作一棱長為4的正方體.由正視圖知，點A1、D1應去掉；由側視圖知，點A、B、A1、B1應去掉；結合俯視圖知，所對應的幾何體為三棱錐E-DCC1，其面積最大的側面為三角形DCC1，易求得其面積為8，應選B.

圖6

例2（1）一個幾何體的三視圖如圖7所示，則該幾何體的體積為（）.

圖7

（2）圖8是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）.

圖8

圖9

圖10

（2）作棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1.由側視圖可去掉點A、B；當有點C1時，正視圖中就沒有虛對角線，故應去掉點C1.結合正、側和俯視圖可得原幾何體為四棱錐D1-A1B1CD，如圖10，故V故應選A.

例3（1）某幾何體的三視圖如圖11所示，則該幾何體的體積為（）.

圖11

圖12

解：（1）作棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1.由正視圖可去掉點B1、C1；由側視圖（注意，要向右翻折），可去掉點C1、D1、C、D.結合正、側和俯視圖可得原幾何體為四棱錐A1-ABEF，其中E、F分別為CC1、DD1的中點，如圖13，易求得其體積為.故應選B.

圖13

圖14

另外對于一些三視圖沒有全部給出的問題，也可以通過構造對應的正（長）方體來處理.

例4（1）在如圖15所示的空間直角坐標系中，一個四面體的頂點坐標分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）.

圖15

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

圖16

解：（1）如圖16所示，作一正方體并建立對應的空間直角坐標系，作出題中對應的點，則易知應選D.

設該長方體的長、寬、高分別為x、y、z，

綜上所述，處理與三視圖有關的問題時，要用好其對應的長（正）方體這個模型，同時要注意三視圖中各線段的虛實對幾何體還原的影響.只要熟練、準確地掌握了上述方法，處理此類問題就會得心應手了.