談對一類斜率問題的探究

筅江蘇省張家港市沙洲中學戴御梅

談對一類斜率問題的探究

筅江蘇省張家港市沙洲中學戴御梅

在高考和競賽中，常常出現這類問題：曲線上一定點P引出兩動弦PQ、PR，這兩弦的斜率之和為定值，則動直線QR恒過定點或kQR恒為定值；平面內與兩定點連線斜率之和、差、積、比為定值（不為0）的點的軌跡是什么樣的？它們有怎樣的性質？下面就這類問題進行探究.

一、與兩定點連線斜率之和為定值的點的軌跡及方程

探究1：平面內與兩個定點連線斜率之和為定值的點的軌跡.

不妨設兩定點為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），動點與兩個定點連線斜率之和為t.

設動點為P（x，y），因為所探究的與兩定點連線的斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

故由kPF1+kPF2=t可得

即2xy=tx2-tc2，這就是所求軌跡的方程.

那么它的軌跡是什么？

易知x≠0，將2xy=tx2-tc2變形后可得

①當t>0時，其軌跡為雙曲線（不含F1、F2兩點），且圖像關于原點中心對稱，存在兩條漸近線，其中一條為y軸.t越接近于0，雙曲線越彎曲；t→+∞時，圖像趨于兩條直線.

②當t<0時，其軌跡還是為雙曲線（不含F1、F2兩點），且圖像關于原點中心對稱，存在兩條漸近線，其中一條為y軸.t越接近于0，雙曲線越彎曲；t→-∞時，圖像趨于兩條直線.

二、與兩定點連線斜率之差為定值的點的軌跡及方程

探究2：平面內與兩個定點連線斜率之差為定值的點的軌跡.

不妨設兩定點為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），動點與兩個定點連線斜率之差為t.

設動點為P（x，y），因為所探究的與兩定點連線的斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

故由kPF1-kPF2=t可得

所以，其軌跡為拋物線.（同理可得kPF2-kPF1=t也具有類似的軌跡方程，由于篇幅原因，不再討論，下同）

①當t>0時，其軌跡為拋物線（不含F1、F2兩點），開口向下，且關于y軸對稱.t越大，拋物線的開口越?。籺→+∞時，圖像趨于兩條直線，兩直線在無窮遠處交于點

即-2cy=tx2-tc2，這就是所求軌跡的方程.

那么它的軌跡是什么？

將軌跡方程-2cy=tx2-tc2變形后可得

②當t<0時，其軌跡仍是拋物線（不含F1、F2兩點），開口向上，且關于y軸對稱.t越小，拋物線的開口越小；t→-∞時，圖像趨于兩條直線，兩直線在無窮遠處交于點

三、與兩定點連線斜率之積為定值的點的軌跡及方程

探究3：平面內與兩個定點連線斜率之積為定值的點的軌跡.

設兩定點為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），與兩個定點連線斜率之積為t.

設動點為P（x，y），因為所探究的與兩定點連線斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

故由kPF1×kPF2=t可得

即tx2-y2=tc2，這就是所求軌跡的方程.

那么它的軌跡是什么？

將軌跡方程tx2-y2=tc2，變形后可得

①當t>0時，其軌跡為雙曲線（不含F1、F2兩點），且關于原點中心對稱，存在兩條漸近線，其漸近線方程為y= ±x，圖像關于x、y軸對稱，其離心率為越接近于0，雙曲線越彎曲；t→+∞時，圖像趨于兩條直線.

②當-1

③當t=-1時，其軌跡方程為x2+y2=c2（不含F1、F2兩點）.其軌跡為以c為半徑且圓心在原點的圓，圖像關于原點中心對稱，關于x、y軸對稱.

④當t<-1時，其軌跡為橢圓（不含F1，F2兩點），且關于原點中心對稱，關于x、y軸對稱.其離心率為，t越小，橢圓越扁，此時焦點在y軸上.t→-∞時，圖像越趨于兩條直線，兩直線

四、與兩定點連線斜率之比為定值的點的軌跡及方程

探究4：平面內與兩個定點連線斜率之比為定值的點的軌跡.

設兩定點為F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），與兩個定點連線斜率之比為t.

設動點為P（x，y），因為所探究的與兩定點連線斜率都是存在的，所以x≠±c，否則無意義.

由kPF1÷kPF2=t可得

那么它的軌跡是什么？

當t=1時，代入（1-t）x=ct+c，得0=c+c，即c=0，這與假設c>0矛盾，所以t≠1.

當t≠1時，將其變形后可得

所以，其軌跡為一條直線.

①當t>1時，其軌跡為一條在y軸左側的直線，t越大，越靠近y軸.當t→+∞時，其軌跡趨于x=-c所在的直線.

②當0≤t<1時，其軌跡為一條在y軸右側的直線，t越小，越靠近y軸.當t→0時，其軌跡趨于x=c所在的直線.

③當t<0時，其軌跡為一條直線，在x=-c和x=c之間移動.t越小，越靠近x=-c所在的直線.當t→-∞時，其軌跡趨于x=-c所在的直線.

五、定點P引出兩動弦PQ、PR，這兩弦的斜率之和為定值，則動直線QR恒過定點或kQR恒為定值

探究5：二次曲線Ф：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上有一定點P（x0，y0）和異于點P的兩動點Q、R，則kPQ+kPR= λ≠-且為定值的充要條件是動直線QR過定點的充要條件是，其中Ф1=2Ax0+By0+D，Ф2=Bx0+2Cy0+E.

證明：做平移：x′=x-x0，y′=y-y0，代入Ф（x，y）=0，得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+Φ1x′+Φ2y′=0.（1）

設QR的方程為lx′+my′=1，代入（1），得

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+（Φ1x′+Φ2y′）（lx′+my′）=0，整理得是方程（2）的兩根，

一般來說，教材中給出知識是最精練的學科知識，不會進行更加深入的探究.這是因為教材作為人類知識的精華，不可能、也不允許對一個問題作長篇幅的闡述.但是，在數學教學中，教師如果只是講課本上的知識，不對相關問題進行拓展與挖掘，學生就不能養成自我探索與自我反思的思維習慣.數學教學中，教師應該結合課本內容和學生的實際情況，對教材知識進行適當的拓展，設計一些既能夠激發學生探究興趣，又能夠讓學生經歷思考，進行探索的題目，這對學生數學思維能力的提高會有很大的幫助.

因此，在數學教學中，數學教師應有意識地提出一些學生感興趣的、并有一定深度的課題，組織學生開展討論，在師生互相切磋、共同研究中來增進師生、同學之間的情誼，培養積極的情感.我們看到，許多優秀的教師，他們的成功，很大程度上是與學生建立起了一種非常融洽的關系，相互理解，彼此信任，情感相通，配合默契.教學活動中，通過師生、生生、個體與群體的互動，合作學習，真誠溝通.老師的一言一行，甚至一個眼神，一絲微笑，學生都心領神會.而學生的一舉一動，甚至面部表情的些許變化，老師也能心明如鏡，知之甚深，俗話說“心有靈犀一點通”.沒有“靈犀”不易通，有了“靈犀”，才能“一點就通”，這“靈犀”，就是我們的老師在長期的教學活動中，與學生建立起來的相互理解.