一道課本習題的證法探究

摘要：本文中筆者對一道課本習題的證法進了多角度探究.在解題教學中，一題多解有助于發展學生的邏輯思維能力與拓寬學生的知識視野，進而有助于提高學生的解題能力與探究能力.本文值得我們廣大師生學習與參考.

關鍵詞：習題；證法；探究

作者簡介：羅小平（1974-），男，江西信豐人，本科，中學高級教師，主要從事高中數學教育教學研究.

題目已知a+b=1，

求證：（a+2）2+（b+2）2≥252.

證法1綜合法

∵（a+2）2+（b+2）2=a2+b2+4（a+b）+8

=a2+b2+12

又∵a2+b2=（a+b）2-2ab=1-2ab

∴（a+2）2+（b+2）2=13-2ab

又∵ab≤（a+b2）2=14

∴（a+2）2（b+2）2≥13-2×14=252.

證法2分析法

（a+2）2+（b+2）2≥252

a2+b2+4（a+b）+8≥252

a2+b2≥121-2ab≥12

ab≤14

∵ab≤（a+b2）2=14顯然成立.

∴原不等式得證.

證法3比較法

∵（a+2）2+（b+2）2-252=a2+b2-12

又a2+b2≥（a+b）22=12

∴a2+b2-12≥0

∴（a+2）2+（b+2）2≥252.

則原不等式成立.

證法4代數換元法

∵a+b=1，

不妨令a=12+t，b=12-t（t∈R）

∴（a+2）2+（b+2）2=（52+t）2+（t-52）2

=2t2+252≥252

∴原不等式得證.

證法5利用基本不等式a2+b2≥（a+b）22

∵（a+2）2+（b+2）2≥[（a+2）+（b+2）]22

=（a+b+4）22

又a+b=1，∴（a+2）2+（b+2）2≥252.

證法6構造函數法

令y=（a+2）2+（b+2）2，∵a+b=1

∴y=（a+2）2+（3-a）2

=2a2-2a+13=12（a-12）2+252

∴y≥252恒成立.

∴原不等式得證.

證法7幾何法

∵a+b=1，

∴點（a，b）在直線l∶x+y-1=0上.

又（a+2）2+（b+2）2可看成直線l上一點P（a，b）到定點M（-2，-2）的距離，則由點到直線的距離公式可得

d=|-2-2-1|2=522，

又點M到l的距離不小于d.

∴（a+2）2+（b+2）2≥522，

即（a+2）2+（b+2）2≥252.

證法8反證法

假設（a+2）2+（b+2）2<252成立，

則a2+b2+4（a+b）+8<252，

即a2+b2+4（a+b）<92.

又a+b=1，∴a2+b2<12.

而這與a2+b2≥（a+b）22=12相矛盾.

∴假設錯誤，原命題成立.