液體加速運動時內部壓強如何變化

王偉民

摘要：分別探究裝滿液體的封閉容器和盛放液體的敞口容器加速運動過程中，液體內部壓強的變化規律，舉例說明這種規律的應用.

關鍵詞： 液體；加速；封閉；敞口；壓強

由于液體自身重力，且具有流動性，液體內部和側壁會“表現”出跟固體不同的壓強特性來——液體不但對盛放它的容器器壁和底部產生壓強，而且在其內部也存在各個方向上的壓強.利用壓強的定義公式p=FS，建立液柱物理模型，可以推出靜止液體內部（指相對于地面保持靜止的液體），距離自由液面深度為h的位置，液體由于具有重力而產生的壓強大小為p=ρgh.

由液體壓強公式p=ρgh可以看出，對于確定的液體來講，其密度ρ是常量，將g和h作為變量時，液體內部的壓強不僅跟液體的深度有關，同時跟重力加速度的大小有關.當容器相對于地面具有某一方向的加速度時，液體壓強公式p=ρgh中的g會隨之改變，液體內部的壓強也將發生變化.我們分別探討容器相對于地面具有各個不同方向加速度時，液體內部壓強的變化規律.

1.若容器相對于地面具有豎直方向上的加速度a，則a與g同向時，有g'=g-a，當a與g反向時，有g'=g+a，此時，液體內部由于液體具有重力而產生的壓強大小為p′=ρg′h.特別的，當盛放液體的容器作自由落體運動時，容器相對于地面的加速度為重力加速度g，相當于g′=0，液體內部的壓強為0.在這種情況下，浸沒于液體中的物體，其表面盡管與液體相接觸，但物體各表面卻不受液體的壓力，當然也不受液體的浮力.處于完全失重的物體，不論其密度比液體的密度大還是小，都可以懸浮于液體之中相對于容器保持靜止.

2.若容器相對于地面具有水平方向上的加速度a，如果是封閉的容器裝滿液體，則液體的形狀不變，除了液體因具有重力使得上下層液體相互擠壓，液體中不同深度的位置壓強不同之外，若將液體沿豎直方向前后分成若干層，當液體隨容器向前作加速運動時，豎向的每層液體所受前后相鄰兩層液體的平均壓力不等，在液體內的同一深度，每層液體的前后面所受液體的壓強也將不再相等.

如圖1所示，一封閉的長方體容器裝滿液體，將容器中的液體沿豎直方向分成厚度均等的液片，由于每層液片的質量相等，隨容器運動的加速度也相等，由牛頓第二定律可知，各液片前后面所受相鄰兩液片的壓力差相等，所以，在液體中的同一水平面上，液體內部的壓強不再相等——靠近前方的位置壓強小，靠近后方的位置壓強大，而且壓強隨水平面上的點離開前后面的距離作均勻變化.與液體內部的壓強公式p=ρgh的導出過程相仿，我們可以從邏輯上進行證明，液體內部同一水平面上前后距離為l的兩點，因液體具有向前的加速度a時，這兩點壓強差為Δp=ρ液al.（例2后面的解析給出了該公式的推導過程）

3.若容器相對于地面具有任意方向的加速度a，我們可以將該加速度分解為豎直和水平兩個互相垂直方向的加速度，再將問題歸結為上述的1或2情形給出的方法進行解決.

例1如圖2所示，一小車的密閉車廂內裝滿水，密度比水小的木球用一根輕桿光滑地鏈接于水平車廂的底部，已知小車、水和木球的總質量為1kg.將小車置于光滑水平地面上，施加F=5N的水平向右的恒力，求系統穩定后輕桿與水平車廂底面的夾角.（取g=10m/s2，所求夾角的大小，結果可以用反三角函數表示）

解析小車系統受向右恒力作用而向右加速運動，系統穩定之后，封閉車廂內的水在同一水平面上，離開車廂前（右）側壁的距離越大，壓強也越大，所以相對于車廂保持靜止的木球受到4個力的作用——水對木球豎直向上的浮力F浮，木球重力G，水對木球水平向前的作用力F水（在這個力的作用下，相對于車廂，木球將向前運動）和輕桿對木球的拉力F拉，如圖3所示.跟液體對浸沒在其中的物體產生豎直向上浮力的大小F浮=ρ液gV排 的證明過程類似，可以證明，木球因水的加速所受水的水平向前的力的大小為F水=ρ水aV排，則有：

F拉sinα+ρ木gV木=ρ水gV木

ρ水αV木-F拉cosα=ρ木aV木

整理得：F拉sinα+ρ水gV木=ρ木gV木

F拉cosα=ρ水aV木-ρ木αV木

兩式相除得：tanα=（ρ水-p木）gV木（ρ水-ρ木）aV木=ga=2

故α=arctan2

如果盛放液體的容器不是封閉而是敞口的，當容器沿水平方向加速運動時，液體的形狀會發生改變，此時液面將不再保持水平，跟靜止容器內盛放的液體相比，液體內部的壓強規律也將發生改變.

例2如圖4所示，敞口的長方體車廂內裝有粘滯系數比較大的某種液體，小車置于光滑水平地面上，小車和液體的總質量為10kg.對小車施加一個水平向右F=20N的恒力，問：液體穩定后，液面是平面還是曲面？如果是曲面，試確定曲面的形狀；如果是平面，求出液面與水平面的夾角（粘滯系數大的液體易于達到穩定狀態）.

解析小車向右加速時，相對于車廂，由于慣性液體往車廂的后部“擠”，因為液體具有流動性，所以，穩定之后的液體上表面將不再是水平面，相對于車廂會形成一個前低后高的傾斜液面.過液面與車廂前壁的交點A（實際上液面與前壁的公共部分應該是一條向畫面里面延伸的線段，側視圖中我們只能看到一個點）作一水平面AC，如圖5所示.在車廂內該水平面之下截取一片很薄的液片，并按前后方向將液片分成n等份（每一部分都是向畫面里面延伸的小液柱），顯然，這些小液柱的質量相等，它們隨小車一起向前（右）運動，具有共同的加速度，因此，各小液柱左右兩面所受相鄰液柱的壓力差相等（各液柱所受相鄰液柱壓力的合力方向向右，用來提供液柱向前的加速度），因此，各液柱左右兩側面所受的壓強差相等，由液體壓強公式p=ρgh可知，各小液柱左右兩側距離液面的豎直高度差相等，所以，車廂內穩定后的液體上表面，不是曲面，而是一個向前傾斜的平面.

從n個小液柱中任取一個進行定量研究，假設該液柱的左右長為l，左右兩側的截面積為S，液體密度為ρ液，左右兩側面所受的壓強差為Δp，由牛頓第二定律可得：

Δp·S=Slρ液a 得Δp=ρ液al

由該等式可以看出，在水平方向加速運動的液體，在其內部同一水平面上前后不同位置的兩點壓強不等，其壓強差跟這兩點之間的前后水平距離成正比.

圖5中，設液體穩定之后液面前后的高度差為h，車廂的左右長度為L，以水平面AC之下的整個薄液片為研究對象，有：

ρ液gh=ρ液al 得hl=ag

那么tanα=hl，故α=artan15