說說值域的求解方法

摘要：求函數的值域方法很多，但需要通過觀察函數的形式來尋找合適的方法，因此對應函數形式選擇恰當的方法則能很輕松求出函數值域.

關鍵詞：值域；函數；方法

作者簡介：周文國（1971-），男，江蘇蘇州市張家港人，本科，中學高級教師，蘇州市名師，主要從事高中數學教學研究.

若集合A是函數y=f（x）的定義域，則對于集合A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應，則我們將所有的輸出值y組成的集合稱為函數的值域.求函數的值域的常見方法有以下幾種：

一、觀察法

對于一些簡單的解析式或者是可以進行簡單變形的解析式，則可利用熟知函數的值域求出其值域.

例1求下列函數的值域：（1）y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）y=x+1.

分析上述兩個問題可直接通過觀察法來求出其值域.

解（1）由于x∈（1，2，3，4，5），將x的取值代入函數解析式，則得到函數的值域為y∈（3，5，7，9，11）；

（2）由于x≥0，則x+1≥1，則得到函數的值域為{y|y≥1}.

點評一般在函數的形式比較直觀的情況下，則往往可以通過觀察法求出函數的值域.

二、換元法

對于形如y=ax+b+cx+d的函數，在求其值域時則常常用換元法，可令t=cx+d，再將原函數轉化為關于t的二次函數，再運用簡單的初等函數方法進行解答.

例2求函數y=x+2x-1的值域.

分析本題可用代換法將2x-1看作整體，并令u=2x-1，然后求出u的范圍，將問題轉化為u的二次函數.

解令u=2x-1，則u≥0，此時x=u2+12，

∴y=u2+12+u=12（u+1）2≥12.

∴ 函數的值域為12，+∞.

點評換元法適用于y=ax+b+cx+d的函數，在使用該方法時則要先觀察函數的特點.

三、分離常數法

對于分式類型的函數，可采用的方法比較多，下面舉例的是利用分離常數法來解決.分離常數就是把分子分母中都有的未知數變成只有分子或者只有分母的情況，由于分子分母中都有未知數與常數的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數變成分母的倍數，然后就只剩下常數除以一個含有未知數的式子.

例3求函數y=3x+2x-1的值域.

分析本題是分式形式，且指數都為一次，則可以采用分離常數的辦法來求解.

解∵y=3x+2x-1=3（x-1）+5x-1=3+5x-1≠3，

∴該函數的值域為{y|y≠3，y∈R}.

點評對于一次型的分式函數求其值域，采用分離常數法則能容易解決問題.

四、判別式法

對于形如y=ax2+bx+cdx2+cx+f以及y=ax+b±cx2+dx+e的函數可以化為關于x的二次方程，因為該方程有實數解，所以判別式大于或者等于零來求得函數的值域.

例4求函數y=12x2-3x+1的值域.

分析本題可將其轉化為關于x的一元二次方程，利用一元二次方程有實數根時判別式Δ≥0則可得到關于y的不等式來解答.

解易得所給函數的定義域是x≠1且x≠12，把原函數變形得：2yx2-3yx+y-1=0，

（1）若y=0，易知無對應的x值；

（2）若y≠0，由于x是實數，故關于x的判別式：Δ=（3y）2-8y（y-1）≥0，解之得：y>0或y≤-8，故其值域為{y|y>0或y≤-8}.

點評對于含二次型的分式函數一般可轉化為判斷一元二次方程有解的問題則比較方便.

五、配方法

一般地說，對于二次函數型的解析式求值域基本方法是通過配方法.

例5求函數y=2x-5+15-4x的值域.

分析本題可先設t=15-4x，當然這里要注意t的范圍為t≥0，再將問題轉化為一元二次函數.

解令t=15-4x（t≥0），則t2=15-4x，得到x=14（15-t2），代入函數關系式同時化簡得到y=-12t2+t+52（t≥0），可以得到y=-12（t-1）2+3（t≥0）.

當t=1時，ymin=3，所以函數的值域為{y|y≤3}.

點評配方法的使用范圍是一元二次函數或者是可以轉化為一元二次函數的問題，如y=ax+b+cx+d或y=ax2+bx+c（a≠0）的問題都可用該方法.

六、數形結合法

數形結合法是用幾何圖形的方法來表示題設條件函數關系式，再通過直觀的圖形來求解得到函數的值域.

例6已知函數y=x2-4x+6，求當x∈[1，5]時該函數的值域.

分析本題是給定區間上一元二次函數的值域問題，結合圖像更能直觀的求出該函數的值域.

解將函數y=x2-4x+6配方得到y=（x-2）2+2，再畫出該函數在x∈[1，5]的圖像，則由圖1可以知道當x=2，函數ymin=2；當x=5時，函數ymax=11.

點評數形結合的作用是先關注函數的定義域，再從圖中尋找出函數的值域，不容易出現錯誤.

上面對求函數值域（最大、最小值）的一些方法和技巧作了一些歸納和整理，當然隨著后面相關知識的學習，求值域的方法還有更多，關鍵要能會探索規律，總結方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.