常用波爾茲曼常數測量方法的探究

陳志豪　戴望義　包鵬飛　吳勁賢　涂成志　王明鋒

摘 要 我們闡述和研究了目前測量波爾茲曼常數的基本方法，詳細推導和分析了各種方法的基本原理。在此基礎上，根據各方法的特點，結合目前大學物理基礎實驗中所常用的儀器，給出了各方法的一種實驗實現方案，并對各方案的可行性做了具體的分析。

關鍵詞 波爾茲曼常量 多普勒效應法

中圖分類號：O4234 文獻標識碼：A

1引言

玻爾茲曼常量是統計熱力學的一個基本常量，它是連接宏觀與微觀世界的橋梁。作為物理學的基本常量之一，玻爾茲曼常量的精確測量將對物理學進一步精確發展起到很大的推動作用。目前，波爾茲曼常數測量方法有多種，而發展較為成熟主要有兩種，既多普勒效應法和PN結電子漂移法。多普勒效應法是從氣體原子的譜線展寬與溫度存在的函數關系反演得出波爾茲曼常數，該方法的特點是精確度很高，目前已知的實驗上該方法所能達到的精度為10-6；PN結電子漂移法是根據PN結的漂移電流與電壓的熱力學關系確定波爾茲曼常數的，該方法的特點是測量過程簡單，但測量精度較低，目前僅能達到10-2，故適合做驗證性的方法。本文將從原理層面具體和深入分析以上兩種方法的基本原理，在此基礎上，本文也將給出在目前大學物理實驗設備條件下的具體實驗實現方案，為波爾茲曼常數的實驗測量提供一定的參考。

2多普勒效應法

2.1 譜線展寬基本原理

圖1：譜線輪廓

我們知道，原子的發射譜線是原子外電在能級間的躍遷所產生的，不同能級間躍遷所發射的光的頻率是一定的，所以，對于單個原子我們能觀察到特定數目的分立特征譜線。但在實際的自然界中，原子往往則以集體的、大量的形式出現，如空氣中的氧原子，水中的氫原子等。這些原子集體所發射的光譜是有一定的寬度的，稱之為譜線寬度，如圖1所示。引起譜線展寬的原因有多種，對于氣態原子如（汞燈中的）汞蒸汽，展寬的原因是氣體原子的多普勒效應所引起的。在氣態原子中，原子的熱運動遵從麥克斯韋速度分布律

（1）

方程中k為波爾茲曼常數，T為氣體溫度。顯然，當其中的某一原子面向探測器運動時，則我們探測到的光的將會藍移；而如果某一原子背向探測器運動時，我們將會探測到紅移。由于氣體存在著朝各個方面的且速度不盡相同的原子，如（1）所示，所以我們最終將會探測到如圖（1）所示的頻譜分布。如果設最強處相應的頻率為v0（強度為I0），我們可定義強度為I0/2處兩側的頻率v1和v2的差|v2v1|=△v為譜線的半高寬。根據（1）式，利用原子運動速度和光譜頻率f間的關系v=c（f/f01），我們可得到發射光譜頻率分布函數

（2）

顯然，頻率分布繼承了速率分布的高斯特性。對于高斯函數（2），我們很容易推導出譜線的半高寬為：

（3）

顯然，對于特定的原子氣體，質量與中心波長是特定的，此時如果我們測得了氣體溫度與展寬量即可計算出玻爾茲曼常量。

2.2實驗實施方案

本實驗儀器主要由三部分組成，即光源、干涉衍射儀、光強探測器。光源發射出來的光包含有原子熱運動的信息，經過干涉衍射裝置可將出射光的強度信息在空間上擴展開來，最后到達光強探測器對各頻率強度進行解讀，通過強度分布可確定譜線展寬。對于光源，我們可選用氫燈，氫燈是冷陰極輝光放電燈，其具有光源氫原子純度高、發光穩定、譜線頻率單一等諸多優點。對于干涉衍射儀和光強探測器，我們可選這集兩者功能于一身的光學多道分析器。光學多道分析器是常用之儀器，他是集光學、精密機械、電子學、計算機技術于一體的精密儀器，能夠精確的測量出某一入射光的頻譜強度分布。雖然他的結構和工作原理較為復雜，但由于使用了計算機技術而使得操作過程十分的方便。

具體實驗過程如圖2所示，氫燈發出的光經透鏡L后入射到光學多道分析系統。經過夾縫S1后入射到反射鏡M1上，經M1反射入準直鏡M2，M2可將入射光轉換為平行光束投向光柵G，衍射后的平行光束經過物鏡M3反射最終可在CCD或觀察窗P上成像。經CCD掃描可得到不同頻率的強度分布。根據強度對應的頻率坐標值，我們即可測得譜線半寬值，根據譜線半寬和氫燈溫度可最終反演出波爾茲曼常數。

3 PN結電子漂移法

3.1 PN結基本原理

PN結是二級管或者三級管（晶體管）上的重要部分，把P型半導體和N型半導體結合在一起，在兩者的結合面上將會發生電子與空穴的擴散。空穴和電子會相互越過交界面進行復合，在P區和N區交界面的薄層區內一邊帶正電荷，一邊帶負電荷，這個薄層即稱之為PN結，如圖3所示，PN結具有單向導電性。不同于常規的金屬導體電阻，PN結的伏安特性并不是線性的，即PN結兩端的所加的電壓與通過的電流存在著指數函數關系，具體函數關系可由以下推導得出。

當PN結附加正向電壓時[如圖4（a）]，擴散和漂移的平衡被打破，擴散運動將占優勢，此時將有大量的電子不斷從N區擴散到P區，同時有較多空穴從P區擴散到N區。電子越過PN結后將繼續向P區漂移，在漂移過程中不斷與P區內的空穴復合。顯然，距離界面越遠，電子密度越低，擴散一定距離后，電子與空穴全部復合，最后消失。所以，從界面伊始至P區縱深處電子的濃度形成了梯度差，正是這種梯度差使得電子和空穴不斷的運動，形成了PN結電流。從能量的角度看，假設未加電流時PN結的電勢差為VD，此時P區相對于N區具有負電勢，也即P區電子的電勢能增加了qVD，其中q為電子電量，該勢壘阻止N區的電子繼續向P區擴散，故而形成了動態平衡。由波爾茲曼統計規律可知，動態平衡時PN結兩邊的載流子滿足以下分布：

（4）

式中和分別表示平衡態時P區電子濃度和空穴濃度；和則表示平衡態時N區的電子濃度和空穴濃度。從（4）可看出P區的少數載離子濃度依賴于結電壓的大小，故而此時如果我們對PN結施加正向電壓V，即勢壘高度降為q（VDV），我們容易推出P區附近的電子濃度分布

（5）

（5）式表明P區附近的電子濃度附加電勢甚為敏感，具體表現為指數關系。對應于該式，我們容易得出PN處非平衡載流子濃度為

（6）

于是可得到正向電壓下電子擴散而產生的電流密度為：

（7）

式中Cn為一比例系數，它與電子的擴散系數和擴散長度有關，而與溫度等因素無關。同理，如果我們分析處在正壓降下由于空穴的擴散而產生的電流密度jp，將得到與（7）式相同的表達式，于是可最終得到PN結在加正向電壓下，PN結的伏安特性表達式：

（8）

式（8）表明，在加正向電壓下，PN結處的正向電流隨電壓呈指數增長。對于特定材料的PN結，一定溫度下，是一項不隨電壓電流變化的常數，于是如果我們能測定PN結兩端電流隨附加電壓的具體數值即可推導出波爾茲曼常數k。

3.2 實驗方案

理論上，我們可利用二極管，改變附加在二極管上的電壓，同時測量通過二極管管的電流，最后擬合電壓電流關系即可測得波爾茲曼常數。然而實際實驗中該種方法測出的波爾茲曼常數值往往偏小，原因是二極管電流不僅僅是擴散電流，還存在著其他電流的影響，諸如耗盡層復合電流，其正比于，還有就是表面電流，它是由SO2界面中的雜質原子所引起的，其正比于，其中m>2。所以在實際實驗中往往采用三級管來準確的測量k。實驗中一般將三極管接成共基極，即集電極與基極短接，此時集電極電流為擴散電流，而表面電流出現在基極，在這種情況下，此時集電極電流與結電壓嚴格滿足（8）式。

實驗中我們可采用TIP31型三級管，實驗中可設置其處于較低的正向偏置，于是表面電流的影響可完全忽略。在較低正向偏置的情況下，PN結的電流大致在10-5-10-8數量級間，故漂移電流十分的微弱。為測量此微弱電流可有兩種方法，一是使用使用高靈敏度的電壓或電流表（近代物理實驗中心一般配有納米級毫伏表），如圖5所示，集電極電流可通過測量電阻兩端電壓降獲得，這里的電阻僅設為1 是為了減小集電極對發射集的反饋影響，盡量達到集電極接地之效果。二是將微小電流放大進行測量，即可運用集成運算放大器，如圖6所示。為將集電極的微弱電流進行放大，我們可在集電極回路中串入LF356運算放大器，F356是一個高輸入阻抗的集成運算放大器，具有輸入阻抗低，電流靈敏度高，溫漂小，線性好，設計簡單等優點，該放大器的功能是將微弱的電流信號轉換為較強的電壓信號V2輸出。最后根據結電壓V1和結電流的V2測量值，通過指數擬合即可求解出波爾茲曼常數。

4結語

本文首先從原理層面學習與回顧了目前波爾茲曼測量的主要方法，接著考慮了具體實驗的實現過程。根據大學物理的實驗的基本特點，我們制定和總結出了測定波爾茲曼常數的幾種實驗方案，對實驗各個細節做了較為細致的分析，以此為契機，為我們進一步測定波爾茲曼常數的具體實驗過程提供一定的指導。

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