例談“絕對值三角不等式”的解題功效

甘肅省蘭州市蘭化一中(730060)

梁宗明●

例談“絕對值三角不等式”的解題功效

甘肅省蘭州市蘭化一中(730060)

梁宗明●

選修4-5中，介紹了定理：如果a,b都是實數，則|a+b|≤|a|+|b|.當且僅當ab≥0時，等號成立. 把定理1中的實數換成向量a,b，結論依舊成立,它的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊，等號成立的條件是a,b同向.由于定理與三角形之間的這種聯系，我們稱其中的不等式為絕對值三角不等式.在處理具體問題時，僅靠該定理是遠遠不夠的，多數情況要用它的推廣結論：

本文以歷年高考題為例，說明其解題功效

一、解決存在性問題

1.(陜西文)若存在實數x使|x-a|+|x-1|≤3成立，則實數a的取值范圍是____.

解析 只需(|x-a|+|x-1|)min≤3即可，利用結論2得：|a-1|=|(x-a)-(x-1)|≤|x-a|+|x-1|

由|a-1|≤3，解得-2≤a≤4.

2.(陜西理)若關于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在實數解，則實數a的取值范圍是 ．

解析 只需(|x+1|+|x-2|)min≤|a|即可，利用結論得：3=|(x+1)-(x-2)|≤|x+1|+|x-2|.

由|a|≥3，解得a∈(-,-3]∪[3,+).

二、解決恒成立問題

解析 只需(|x+3|-|x-1|)max≤a2-3a即可，利用結論得：|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4.

由a2-3a≥4，解得a∈(-,-1]∪]4,+).

2.(陜西文)若不等式|x+1|+|x-2|≥a對任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是 ．

解析 只需(|x+1|+|x-2|)min≥a即可，利用結論得：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3.

故得a≤3.

三、解決證明問題

解析 由題知要證-3≤f(x)≤3，只需證明|f(x)|≤3即可.

而|f(x)|=||x-2|-|x-5||≤|(x-2)-(x-5)|=3，所以-3≤f(x)≤3.

解析 由要證明的結論可知，應該通過配湊相減消去變量x.

四、解決最值問題

五、解決方程根的問題

2. 求方程|5x+7|+|18-5x|=25的實根個數.

解析 因為|5x+7|+|18-5x|≥|(5x+7)+(18-5x)|=25，由結論1，右邊“=”成立的條件得：

六、解決不等式問題

解不等式|2x+1|-|x-2|<|x+3|.

解析 原不等式等價于|2x+1|<|x-2|+|x+3|.又因為2x+1=(x-2)+(x+3),而|(x-2)+(x+3)|<|x-2|+|x+3|，即(x-2)(x+3)<0,所以原不等式解集為(-3,2).

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1008-0333(2017)01-0015-01