江蘇省淮陰中學高三(6)班(223000)
范 茗●
含參數不等式恒成立問題的求解技巧
江蘇省淮陰中學高三(6)班(223000)
范 茗●
所謂含參數參不等式恒成立問題,主要是指在恒成立條件下,已知不等式解集求參數的取值范圍問題,它涉及知識點多,覆蓋范圍廣,思想方法深刻,技巧性、綜合性以及靈活性強,是歷年數學高考的熱點和難點內容.不少同學在求解含參數不等式恒成立問題時,往往束手無策,難以找到突破口,對此,筆者總結了含參數不等式恒成立問題的幾種求解技巧和方法,以供同學們參考借鑒.
參數分離,是求含參數不等式恒成立問題較為常用的方法之一,它是指在含有參數的不等式恒成立問題中,借助恒等變形,將所求參數(或其代數式)從不等式中分離出來,并置于不等式一端,從而將原問題轉化函數最值或值域問題,簡化解題過程,使問題快速有效獲解.
例1 已知函數f(x)在R上是減函數,對一切x∈R不等式f(m2-2sinx)≤f(2m+1+cos2x)成立,求實數m的取值范圍.
解 ∵函數f(x)在R上是減函數,由題設不等式知
m2-2sinx≥2m+1+cos2x對一切x∈R恒成立,
∴m2-2m-1≥cos2x+2sinx對一切x∈R恒成立,
設g(x)= cos2x+2sinx,∴m2-2m-1≥[g(x)]max.g(x)= cos2x+2sinx=-sin2x+2sinx+1=-(sinx-1)2+2,

點評 對于某些含參數不等式恒成立問題,可將其中的參數分離出來,轉化為求函數最大值或最小值問題.通常有:①f(x)
分類討論法,是數學解題中至關重要的思想方法.在解含參不等式恒成立問題時,若參數取值范圍不同,或不等式左右兩邊的函數存在不確定因素時,可通過分類討論的方法對參數進行求解,在分類討論時應注意明確分類標準,做到不重復,不遺漏,從而提高解題的嚴謹性和準確性.
例2 設函數f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).若對任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)-f(x2)]≤4,求b的取值范圍.
解 題設等價于f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值之差M≤4,所以:



綜上所述,可知b的取值范圍是[-2,2].
點評 對于含參數不等式恒成立問題,倘若無法通過恒等變形分離參數,此時可以借助分類討論的思想進行分析和求解.
數形結合法,直觀形象.其特點是“見數想形,以形助數”,是求解含參不等式恒成立問題不可或缺的方法之一.在解某些含參不等式恒成立問題時,我們可以先將不等式兩端的式子看成兩個不同的函數,然后分別畫出這兩個函數的圖象,接著觀察函數圖象特征和位置關系,最后列出有關參數的不等式,從而使問題迎刃而解.




點評 對于一些難以分離參數的不等式恒成立問題,可以利用數形結合思想,先作出符合已知條件的函數圖象或圖形,再利用函數圖象的直觀性,列出不等式,求出參數的取值范圍.
總之,含參數不等式恒成立問題的求解方法靈活多樣,不拘一格.在平時數學解題和學習中,同學們應注意多探索、多思考、多歸納、多總結,不斷積累經驗,掌握技巧和方法,從而提升自己的解題能力,有效突破解題障礙.
指導老師:陳 勇
G632
B
1008-0333(2017)01-0058-01