特殊數列的求和方法

山東省東營市勝利第一中學(257027)

丁孝恒●

特殊數列的求和方法

山東省東營市勝利第一中學(257027)

丁孝恒●

我們已經知道等差數列和等比數列的求和方法，但是我們碰到的很多數列不是常規的等差數列或等比數列，這些數列的求和有時比較麻煩.但是我們只要抓住數列的特點，找出規律就可以比較容易地求出數列的和.本文主要針對一些特殊數列如方冪數列、階差數列和循環數列的求和方法進行總結.

數列求和；方冪數列；階差數列；循環數列

數列是高中數學中的重要內容之一，而數列求和是數列的基本運算之一，下面主要針對一些特殊數列如方冪數列、階差數列和循環數列的求和方法進行總結.

1.方冪數列

我們把形式如12,22,32,…,n2,…的數列稱為自然數的方冪數列.對于這種形式的數列，我們通常采用分組轉化法.也就是把數列的每一項拆分成兩項或者多項，或者把數列的項重新組合，或者把整個數列分成兩部分等等，使其轉化成等差數列或者等比數列等可求和的數列分別進行求和.

例1 求數列12,22,32,…,n2,…的前n項和.

解 我們首先假設設Sn=12+22+32+…+n2，因為(k+1)3=k3+3k2+3k+1，所以(k+1)3-k3=3k2+3k+1.用1,2,3,…,n分別代替上面的k，于是得到

23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…,(n+1)3-n3=3×n2+3n+3n+1.將上面各式等號兩邊分別相加，于是可以得到

2.階差數列

我們先給出階差數列的概念：設有數列{an}，將這個數列相鄰兩項的差作為一個新的數列{an+1-an}，那這個新的數列{an+1-an}就稱為原數列{an}的第一階差數列，記為{bn}.數列{bn}的階差數列{bn+1-bn}，稱為數列{an}的第二階差數列，依次類推.有些數列的構成規律不十分明顯可以依次求出它的各階差數列.如果某一階差數列正好是等差或等比數列，那么可以利用這些數列的有限和，得出原數列的一個通項公式.

例2 求數列1,3,7,13,21，…的通項公式an以及前n項和Sn.

解 這個數列不是等差數列，但是相鄰兩項的差依次為2，4，6，8，10，…是一個等差數列，這個等差數列的通項是bn=2n.

設原始數列為{an}，則

a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…,an-1-an-2=2(n-2),an-an-1=2(n-1).把以上n-1個式子相加，可以得到an-a1=2+4+6+…+2(n-1)=n2-n

因為a1=1，所以an=n2-n+1.由上面可以得到

3.循環數列

例3 求數列9，99，999，…，99…9(n個9)…的前n項和.

解 9=101-1，99=102-1，999=103-1，…，99…9(n個9)=10n-1，所以

數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎.等價轉換思想是解決數列有關問題的基本思想方法.復雜的數列求和問題經常轉化為等差、等比或常見的特殊數列的求和問題.

[1] 李正興.高中數學解題策略[M]，上海：上海人民出版社,2002.

[2] 孫元沾，康士凱.高中數學思維方法上冊[M]，上海：上海科學普及出版社，2003.

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