關于高中數學函數單調性解題方法探討

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

蔡明果●

關于高中數學函數單調性解題方法探討

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

蔡明果●

函數的單調性既是一個重要的數學概念，又是函數的一個重要性質，在整個高中數學函數的學習中，起著承上啟下的作用.在各種考試的考題中也占有非常多的比例，依據函數單調性延伸出的綜合復雜的題目也很多，所以更好地理解函數單調性的概念，及掌握其各種數學題目的分析解決方法，尤為重要.本文將針對運用函數單調性定義、導數法、復合函數、函數圖象等方法，解決函數單調性問題.

數學函數；函數單調性；解題方法

函數單調性是一個非常重要的數學概念，在函數的學習中，函數的單調性是我們接觸的第一個函數的性質，總結了以往我們初中高中所學的數學知識，而它對于以后學習不等式等許多方面，都需要用到函數單調性的相關知識，所以如何更好地掌握函數單調性解題，在我們的數學學習中，是非常重要的一個環節.

一、函數單調性解題方法概況

1.函數單調性定義法

函數單調性的定義： 一般地設函數y=f(x)的定義域為A，如果對于定義域A內的某個區間I內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

那么通過單調增區間，我們很容易就能推出單調減區間的定義：一般地設函數y=f(x)的定義域為A.如果對于定義域A內的某個區間I內的任意兩個自變量x1，x2，當x1>x2時，都有f(x1)

如何函數y=f(x)在區間I上是單調增函數或單調減函數，那么就說函數y=f(x)在區間I上具有單調性.

而很多的試題，完全可以用定義，簡單的運算就可以得到結果.

函數的解析式和區間都已給出，只需要利用函數單調性的定義判斷即可，

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2.函數圖象法

在解題的過程中，利用函數圖想法也是常見的方法之一.根據圖象能夠更直觀地看到函數的區間內的單調性，而數形結合的方式，能夠更快捷地進行解題.而在單調區間內，函數如果是增函數，那么隨著x的增大，那么它的圖象呈上升狀態，有明顯的上升趨勢，在單調區間內，如果函數是減函數，那么它的圖象就會為下降狀態，呈下降的趨勢.所以掌握常見函數圖象，也很有必要.而利用函數圖象解題過程中，函數的奇偶性也是解題的關鍵，其中奇函數在原點對稱的區間上，單調性是相同，而偶函數在原點的對稱區間上的單調性是相反，從圖象上可以清晰地判斷出來.

3.復合函數分析法

復合函數的定義是函數y=f(g(x))是由函數y=f(t)和函數t=g(x)組合而成，其中t=g(x)為內層函數，y=f(t)為外層函數.而復合函數單調性又該如何判斷呢，首先，如果內外函數的單調性不一致，即一個是單調增函數，一個是單調減函數，則復合函數的單調性是遞減函數，有一種負正得負的異曲同工的感覺.相反，如果內外層函數的單調性是相同的，同為增函數或同為減函數，那么復合函數的單調性是遞增函數，類似負負得正，正正為正的乘法法則.

例如，判斷函數f(x)=7x2+1的單調性，利用復合函數的定義，區分出這個函數的外層函數為f(y)=7y,而內層函數為y=x2+1，開始逐一判斷內外層的單調性，由內而外的判斷，首先內層函數y=x2+1，在x∈(-∞,0)時，函數為遞減函數，在x∈(0,+∞)時，函數為遞增函數，而外層函數，在f(y)=7y，y∈(-∞,+∞)時，為遞增函數，按照之前總結得出，一增一減為減，同增同減為增原則，當x(-∞,0)時，函數f(x)=7x2+1為單調遞減函數，當x∈(0,+∞)時，函數f(x)=7x2+1為單調遞增函數.所以復合法是一種非常清晰明確的解題方法，從而減少了解題步驟.

總之，函數單調性的學習是整個函數學習中最基礎的知識，只有基礎打牢，才能更好地應用到后續的函數學習中，所以牢牢地掌握函數單調性解題思路和分析問題的辦法，非常的重要.而各種考題中最常出現的類型有以下幾種，判斷函數的單調性，求函數的單調區間，在一定區間內求函數的最值、極值等.所以一定要通過分析總結，掌握適合自己有效的解題方法，才能更快更準確地取得問題的答案.而函數單調性定義法，函數圖象法，復合函數法、導數法是最常用的解題方法，綜合運用，合理搭配，選擇合適的解題思路，可以簡化解題過程，能夠更快更準確地取得答案.高考的題目看似每年都不一樣，非常的靈活，其實只是將一些簡單的問題進行組合，所以學習就是要把簡單的知識點掌握好，抽絲剝繭地把復雜的問題簡單化.如果較復雜的函數就不建議用定義法，相對比較繁瑣，而復合函數，就建議用復合法來解決.在經過函數單調性解題的學習和研究，最主要的還是培養發現問題，分析問題，解決問題的能力.

[1]施永新.巧用函數單調性解題例說[J].數理化解題研究(高中版)，2011(01)

[2]蔣自偉.函數單調性解數學題常見類型解析[J].中學生數理化(高中版.學研版)，2011(03)

[3]王保國.函數單調性判斷的四種方法[J].數學愛好者，2006

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