淺談高中三角函數(shù)解題技巧

湖南省長沙市長郡中學(xué)(410000)

殷 雯 ●

淺談高中三角函數(shù)解題技巧

湖南省長沙市長郡中學(xué)(410000)

殷 雯 ●

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對(duì)于我們來說是非常重要的，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中必不可少的一部分，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)以各種形式出現(xiàn)在課本中.雖然三角函數(shù)的定義比較簡單，但是其內(nèi)容卻包括了很多方面；通過正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余弦函數(shù)的演變與運(yùn)算，會(huì)不斷豐富三角函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.因此我們?cè)诮鉀Q三角函數(shù)問題時(shí)，解題技巧的掌握是十分重要的.本文概述三角函數(shù)的定義，分析幾種常見的三角函數(shù)解題技巧，讓同學(xué)們能夠領(lǐng)悟知識(shí)點(diǎn)之間的連接關(guān)系，從而達(dá)到鞏固知識(shí)和技能的目的，強(qiáng)化運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維能力.

高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題技巧

一、三角函數(shù)的定義與特點(diǎn)

從字面的理解上來說，三角函數(shù)即與角度有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)由簡到難，最開始學(xué)習(xí)的是一些函數(shù)值，以角度為自變量，以正弦、正切、余弦函數(shù)為因變量的函數(shù)，其中都是關(guān)于簡單的函數(shù)值變化值，例如：sin30°=1/2,sin90°=1，tan45°=1等簡單函數(shù)值計(jì)算.高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)貫穿了三角函數(shù)，在簡單的學(xué)習(xí)之后，會(huì)出現(xiàn)較難的恒等式，三倍角公式、積化和差、兩角和、差公式等，這類運(yùn)算需要學(xué)生熟練地掌握三角函數(shù)的公式，直接套用便能夠解決問題.

圖形的運(yùn)用在三角函數(shù)中也是一大特色，每一個(gè)三角函數(shù)都可以利用圖形表示出來，對(duì)于特殊的函數(shù)，也可以在圖形上表示出具體的數(shù)值，而不常見的函數(shù)，也可以畫出大概的圖，將函數(shù)清晰地表示出來.但是，伴隨學(xué)習(xí)難度的加大，知識(shí)的復(fù)雜化，雙曲線函數(shù)的出現(xiàn)，將三角函數(shù)和解析幾何、空間幾何、復(fù)數(shù)等內(nèi)容有效結(jié)合起來，成為了綜合性的函數(shù)題目，多數(shù)同學(xué)都會(huì)有難以下筆的感覺.因此，高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)很簡單也很難，我們必須要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，結(jié)合了解的解題技巧，才能夠在解答時(shí)靈活自如地運(yùn)用.

二、高中三角函數(shù)的解題技巧

1.角的轉(zhuǎn)化

將題目中給出的條件角轉(zhuǎn)變?yōu)閱谓牵蛘呤菍⒛骋环N角作為是基本的衡量標(biāo)準(zhǔn)，從而將其他的角轉(zhuǎn)變?yōu)榉奖憬忸}的角.

例1 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.

解題思路 根據(jù)三角函數(shù)中的一些特殊角，結(jié)合相關(guān)公式，將一些角轉(zhuǎn)變成為適合應(yīng)用計(jì)算的特殊值，這樣能夠有效地簡化計(jì)算的步驟，還能夠讓其中的某些項(xiàng)相互抵消，以此達(dá)到解題的目的.

解析 原式=1/2[sin ( 70°+20°)-sin( 70°-20°)]-1/2[cos(50°+10°)-cos(50°-10°)]=1/2(sin90°-sin50°)-1/2(cos60°- cos40°)=1/2 -1/2sin50°-1/4+1/2cos40°=1/4-1/2sin50°+1/2sin50°=1/4.

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式

三角函數(shù)的學(xué)習(xí)與圖形密切相關(guān)，從做過的習(xí)題中可以看出，除了一些運(yùn)算簡單、條件清楚明了，可以直接計(jì)算出來的題型以外，三角函數(shù)的題目都是與圖形結(jié)合展開的，每一題三角函數(shù)都可以畫出具有代表性的圖形.因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中，可以根據(jù)題目，直接畫圖，養(yǎng)成一個(gè)習(xí)慣；這樣在做題的過程中，遇到比較復(fù)雜的題目便可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解答.

例2 函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k恰有2個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍.

解題思路 根據(jù)題目給出的函數(shù)解析式，可以對(duì)應(yīng)地畫出圖象，可以從直觀的圖形中找出答案.數(shù)形結(jié)合的方法大大地縮減了解題的時(shí)間，提高我們的學(xué)習(xí)效率.

3.升冪降冪

升冪降冪公式是三角函數(shù)恒等式變形中常用的公式，升冪與降冪是相對(duì)應(yīng)的公式.利用升冪降冪的公式或者逆向運(yùn)用可以將三角函數(shù)的冪數(shù)改變，可以將三角函數(shù)簡化，方便我們的解題過程.如下 2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α、sin2α+cos2α=1 等公式，便是升冪降冪中常用的.

例3 化簡 (1-cos4α-sin4α)/(1-cos6α-sin6α).

解題思路 將三角函數(shù)題型進(jìn)行化簡便是利用表達(dá)式將題目轉(zhuǎn)化成更加簡單的形式的一個(gè)過程，對(duì)其結(jié)果要求簡單，因此其中涵蓋的項(xiàng)數(shù)必須要做到最少，將高次冪全部化簡，盡可能達(dá)到不存在，在分母中也要盡可能了轉(zhuǎn)換掉復(fù)雜項(xiàng)，最后在能夠求出數(shù)值的時(shí)候求出最終結(jié)果.

解析 升冪，逆用公式sin2α+cos2α=1.

原式=[(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α]/[(cos2α+sin2α)3-cos6α-sin6α]=2cos2αsin2α/3cos2αsin2α(cos2α+sin2α)=2/3.

三角函數(shù)在解答過程中可以運(yùn)用的解題方法多種多樣.本文僅僅對(duì)其中幾種方法進(jìn)行了分析說明.三角函數(shù)囊括了函數(shù)的多種性質(zhì)，以及對(duì)稱性、周期性等，涵蓋了豐富多彩的公式，能夠在各種題型中轉(zhuǎn)換.學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)，掌握基礎(chǔ)知識(shí)和解題步驟的非常重要的，但是對(duì)于解題技巧的掌握更是重點(diǎn)所在.只有這樣才能夠加強(qiáng)知識(shí)的連貫性，有效地提高我們的運(yùn)算能力和思維能力.

[1]朱思文. 淺談高中三角函數(shù)解題技巧[J]. 高中數(shù)理化, 2014(16):8-8.

[2]曹治. 淺析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解析技巧[J]. 課程教育研究:新教師教學(xué), 2015(20).

[3]趙飛. 淺談三角函數(shù)變換技巧[J]. 高中數(shù)理化, 2016(2):13-13.

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