辨析常用邏輯用語的易錯點

安徽省利辛高級中學(341000)

陳國林●

辨析常用邏輯用語的易錯點

安徽省利辛高級中學(341000)

陳國林●

常用邏輯用語在中學數學中起著基礎性和工具性作用，通常問題設計范圍較廣，可與幾何、向量、導數、數列、三角函數、基本初等函數進行結合考查.下面對幾個常見的錯誤點進行分析，供讀者參考.

一、對與或非的含義模糊致誤

A.p是真命題，p:?

B.p是真命題，p:?

C.p是假命題，p:?

D.p是假命題，p:?

錯解 A

錯因分析 沒有搞清楚非的含義，誤認為只需要把sinx>x改成sinx≤x即可.

二、不能正確區分否命題和命題的否定致誤

例2 (2016年山東省5市聯考)命題”?x∈R,x2是無理數”的否定是( ).

A.?x?R,x2不是無理數

B.?x∈R,x2不是無理數

C.?x?R,x2不是無理數

D.?x∈R,x2不是無理數

錯解 A

錯因分析 將否命題和命題的否定搞混淆，命題p的否定為“非p”，一般只是否定命題p的結論，否命題需要先將原命題的存在量詞改為全稱量詞，全稱量詞改為存在量詞，然后否定結論.

正解 存在命題的否定是先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結論，故否定是：“?x∈R,x2不是無理數”.即D答案正確.

三、考慮問題不周致誤

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

錯因分析 考慮問題不夠全面，只是選擇了一個特殊情況進行了驗證.

錯因分析 考慮問題不夠全面，只考慮了a,b向量的方向在同一方向上致誤.

四、對“p或q”的否定有誤而致誤

例4 (2015年利辛高級中學高二測試節選)判斷命題真假：若x2-3x+2≠0，則x≠1或x≠2.

錯解 因為互為逆否的兩個命題同真假，而命題“若x2-3x+2≠0，則x≠1或x≠2.”的逆否命題為“若x=1或x=2，則x2-3x+2=0．”顯然此命題為真命題，故原命題為真命題．

錯因分析 誤將“x≠1或x≠2”的否定理解為“x=1或x=2”，正確的否定是“x=1且x=2”．

正解 因為互為逆否的兩個命題同真同假，而命題“若x2-3x+2≠0，則x≠1或x≠2.．”的逆否命題為“若x=1且x=2，則x2-3x+2=0．”顯然此命題為假命題，故原命題為假命題．

五、充分條件、必要條件混淆致誤

例5 (2016年 安慶二模)設角A、B、C是△ABC的三個內角，則“A+B

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條

錯解 B

錯因分析 識記不好，不能真正理解充分條件，必要條件的概念.對于兩個條件A,B，如果A?B,則A是B的充分條件，B是A的必要條件.

跟蹤練習

1.(2016年桂林、百色、來賓、賀州、崇左五市聯考)命題“?x∈R，x2+2x+1≥0”的否定是( ).

A.?x∈R，x2+2x+1<0 B.?x?R，x2+2x+1<0

C.?x?R，x2+2x+1<0 D.?x∈R，x2+2x+1<0

易錯點分析 命題的否定和否命題搞不清楚，錯認為命題“?x∈R，x2+2x+1≥0”的否定是?x?R，x2+2x+1<0，從而錯選B.

正解 全稱命題的否定是先將全稱量詞改為存在量詞，然后否定結論，故否定是“?x∈R，x2+2x+1<0”，故選D.

2.(2016年鎮海中學高三模擬)設m,n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題為真的是( ).

A.若m⊥α,n⊥β，且α⊥β，則m⊥n

B.若m∥α,n∥β，且α∥β，則m∥n

C.若m⊥α,n?β，且m⊥n，則α⊥β

D.若m?α,n?α，且m∥β,n∥β，則α∥β

易錯點分析 忽略當m∥α,n∥β，且α∥β時，m,n相交的情況錯選B,m∥n；忽略當m⊥α,n?β，且m⊥n時，α,β相交,錯選C；

正解 由易錯點分析中可知B,C錯誤，D選項成立還需要添加m與n相交時才成立，故A選項正確.

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

4.(2016年江西省高三九校聯考)下列判斷錯誤的是( ).

A．命題“若am2

C．若a∥c且b∥c，則a∥b是真命題.

D．命題“p∧q為假命題，則p,q至少一個為假命題.

易錯點分析 將命題否定和否命題概念搞混，誤認為B選項錯誤,

正解 當c=0時，a∥c且b∥c，a∥b不成立，故選C.

5.寫出“若a?M或a?P，則a?M∩P”的否命題是____．

易錯點分析 ①概念模糊，弄錯兩類命題的關系，錯將否命題寫成“若a?M或a?P，則a∈M∩P”；②沒有將“或”否定成“且”.

正解 若a∈M且a∈P，則a∈M∩P.

6.對任意實數a,b,c，給出下列命題，其中是真命題的序號有____．

①“a=b”是“ac=bc”的充要條件；②“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件；③“a>b”是“a2>b2”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件.

易錯點分析 ①中，忽視c=0時，導致誤選；③中忽視0>a>b導致誤選.

正解 ②④ 當c=0時，①錯誤；一個無理數減去一個整數還是無理數，一個無理數加上一個整數還是無理數，所以②正確；當0>a>b時，③錯誤；④很顯然正確.

7. 已知命題p：-2≤x≤10；命題q：x2-2x+1-m2≤0(m>0)，p是q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍．

易錯點分析 本題很容易忽視集合B={x|1-m≤x≤1+m,m>0} 中“1-m=-2和1+m=10不同時成立”這個隱含條件，導致出現錯誤答案(9,+)．

正解 命題p對應的集合為A={x|-2≤x≤10}．設命題q對應的集合為B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}．因為p是q的必要而不充分條件，所以q是p的必要而不充分條件，得到AB．注意到1-m=-2和1+m=10不能同時成立，從而解得m≥9．即實數m的取值范圍是[9,+)．

正解 因為函數函數y=cx在R上單調遞減，所以00，且c≠1，所以p：c>1.又因為函數f(x)=x2-2cx+1在)上為增函數，所以，即.因為c>0，且c≠1，所以且c≠1.又因為“p且q為假”，“p或q為真”，所以p真q假,或p假q真.

G632

B

1008-0333(2017)01-0008-02