一題多解 培養學生求解能力

云南省普洱市第一中學(665100)

王愛華●

一題多解 培養學生求解能力

云南省普洱市第一中學(665100)

王愛華●

在復習課的教學中，時間短、任務重，要在較短的時間內完成全面復習工作，對學生來說是一件不易的事.教師應當在有限的時間內講求方法、精選例題，在加強基礎知識復習鞏固的同時，注意典型例題、相關知識的分析和講解，以點帶面，觸類旁通，一題多解，培養學生多角度分析思考問題的思維，啟發誘導學生，靈活應用所學知識解決問題的能力，從而事半功倍.也不失中學數學教學的需要.本文僅借在解不等式復習中的一例說明之.

示例 解不等式|lg(1-x)|>|lg(1+x)|.

本題是一道綜合的含絕對值符號的不等式，關鍵是先去掉絕對值符號.分析講解前，先由學生獨立思考，組織討論，提出各自的解法，然后列出解法的主要步驟，直至化為等價的不含絕對值的不等式(組).詳解可由學生下去完成.

角度一：(居于絕對值不等式的結構，可考慮變形為形如：|f(x)|>a或|f(x)|0)的不等式去絕對值符號)

∵x≠0(若不然有lg(1-x)=lg(1+x)=0)

∴1+x≠1，即lg(1+x)≠0得|lg(1+x)|>0

點評 由以上變形，問題轉化為一般對數不等式進行討論解之.對數函數的性質也從中得到復習和鞏固.

角度二：(由于平方可去掉絕對值符號，所以可考慮用兩邊平方的辦法來處理絕對值符號，但要注意滿足兩邊平方的不等式性質).

∵a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|(a,b∈R)

∴|lg(1-x)|>|lg(1+x)|

?|lg(1-x)|2>|lg(1+x)|2

?lg2(1-x)>lg2(1+x)

?lg2(1-x)-lg2(1+x)>0

?[lg(1-x)+lg(1+x)][lg(1-x)-lg(1+x)]>0

點評 通過去絕對值符號、問題轉化為二次型不等式，對對數的運算、實數的符號法則及對數函數的性質從中得到復習.進而化為分式不等式(組)及二次不等式(組)求解，相應不等式的解法得以復習.此法思路明朗便于理解.

角度三：(由于原不等式含有對數函數形式，可由其定義域、值域出發，分析x的取值范圍，討論區間去絕對值符號).

點評 通過區間討論去掉絕對值符號，問題轉化為簡單的分式不等式組求解.此法技高一籌，迅速快捷.同時培養了學生利用討論命題成立的條件來化繁為簡的解題思想方法.

角度四：(去絕對值符號，還可考慮絕對值的定義，討論去絕對值符號).

運用絕對值定義，直接化為以之等價的不等式組：

點評 此法充分運用基礎知識，使問題轉化為對數不等式組，進而轉化為分式不等式組求解，但較繁.

角度五：(由于原式兩端含有絕對值符號，且非負，可考慮直接將一端視為|f(x)|0)型中的a，逐次去絕對值符號).

由|lg(1-x)|>|lg(1+x)|?-|lg(1-x)|

點評 逐次去掉絕對值符號后，問題轉化為對數不等式組及分式不等式組求解，仍較繁！

角度六：(由于函數y=|lg(1-x)|及y=|lg(1+x)|的特征圖形不難作出，故可考慮數形結合，作圖求解).

由圖形立即可看出，原不等式的解為0

點評 用此法解起來不僅直觀、快捷.通過作圖可明確有關函數的定義域、值域、性質，還可復習帶絕對值的函數圖象、分段函數的圖象及平移等知識，培養數形結合的解題思想.

思考題：

(1)解不等式|log2(1-x)|>|log2(1+x)|.

(2)指出上述不等式與不等式|loga(1-x)|>|loga(1+x)|(a>0,a≠1)是否同解？為什么？

(3)證明不等式|loga(1-x)|>|loga(1+x)|(a>0,a≠1)成立的充要條件是x∈(0,1).

由以上分析不難發現，本例的求解不僅對考綱要求的多個知識點得以復習鞏固，而且對培養學生知識遷移和基本的數學方法、觀察、分析、歸納、綜合、類比、抽象、概括等數學思維，以及函數與方程的思想、數形結合的思想、邏輯劃分的思想、化歸與轉化的思想等方面，都起到良好的啟發誘導作用，從而更有效地利用有限的時間指導學生復習，提高復習效率.

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1008-0333(2017)01-0055-02