矩陣的初等變換應用研究

趙怡欣+劉陸軍

摘要：矩陣的初等變換是高等代數中重要的工具，該文主要探討了利用矩陣的初等變換解決在矩陣、空間向量、求解線性方程組等方面的問題，并給出了相應的理論依據以及解題技巧。

關鍵詞：初等變換；矩陣的秩；空間向量；線性方程組

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）25-0228-02

一、基礎知識

矩陣的初等變換。（1）互換矩陣中任意兩行位置，記作r■？圮r■。（2）用一個非零數k乘矩陣的某一行的所有元素，第i行乘k，記作kr■。（3）把矩陣的第i行元素的k倍加到第j行對應元素上，記作kr■+r■。

二、初等變換在矩陣方面的應用

1.利用矩陣的初等變換求矩陣的秩。

例：設A=■，求矩陣A的秩。

解：A=■■

■■■■■

由于上面階梯形矩陣有三個非零行，所以R（A）=3。

2.利用矩陣的初等變換判斷矩陣是否可逆并求它的逆矩陣。

定理1：矩陣A可逆的充分必要條件是A是方針且A≠0（非退化）及矩陣A可逆。

A=■？圳A=■≠0

推論：A可逆，則A可由初等行變換化為單位矩陣。

R■■…R■■R■■A=ER■■…R■■R■■=A■ （1）

若A可逆，構造分塊矩陣AE？搖，其中E為與A同階的單位矩陣，則：

A■AE？搖=A■AA■E？搖=EA■？搖 （2）

由（1）式A■=R■■…R■■R■■代入（2）式左邊，R■■…R■■R■■AE？搖=EA■？搖

上式說明分塊矩陣AE？搖經過初等行變換，原來A的位置變換為單位矩陣E，原來E的位置變換為我們所要求的A■，即：AE？搖■■EA■？搖■，或用初等列變換：■■■■■

例：矩陣A=■，判斷A是否可逆，并求A■。

解：利用初等變換將矩陣化為階梯形，若對應的行列式不為零則矩陣可逆。

由于A=■=■=3≠0，則A可逆。

（AE）=■→■，所以A■=■.

3.初等變換在空間向量方面的應用。

（1）利用矩陣的初等變換判斷向量組的線性相關性。例：判斷下列向量的線性相關性。α■=（1，-2，1，-5），α■=（2，-1，3，1），α■=（4，-3，-1，6）.解：向量組

α■，α■，…，α■線性相關的充要條件是它構成的矩陣A=（α■，α■，…，α■）的秩小于向量的個數m；向量組線性無關的充要條件是R（A）=m.以α■，α■，α■為行構成的矩陣記為A。A=■→■，所以矩陣A的秩為3（向量的個數），因此向量組α■，

α■，α■線性無關。

（2）利用矩陣的初等變換求向量組的秩與極大無關組。例：設向量組。α■=（1，-1，-1，3），α■=（-1，1，-3，-1），α■=（-1，-3，1，-1），α■=（-3，-1，-1，1），求向量組的秩以及此向量組的一個極大線性無關組。解：向量組α■，α■，…，α■的極大線性無關組所包含的向量個數稱為該向量組的秩。如果我們要求向量組的秩，就把每一向量看作矩陣的一列，進而求向量組的秩轉化為求矩陣的秩，然后就可以得到向量組的秩。以α■，α■，α■，α■為列的矩陣記作A。A=■→■→■→■→■，所以向量組的秩為3，且它的一個極大線性無關組為α■，α■，α■。在求一個向量組的極大無關組的同時，也可以寫出其他向量用極大無關組的線性表達式。這里α■=-α■+α■+

α■。

4.矩陣初等變換在求解線性方程組中的應用。我們對方程組進行的初等變換實際上只對方程組中未知量的系數與常數項進行運算，未知量并未參與運算，因而對方程組施行的初等變換可以用相應的矩陣變換來表示。應用矩陣的初等變換來求解矩陣方程計算簡便，而且容易掌握。

例：線性方程組x■-x■+2x■=-4x■+x■+tx■=4x■-tx■-x■=-t■，試問t取什么值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？

解：對方程組的增廣矩陣作初等變換。

■

→■

當t=-1時，方程組無解；當t≠-1且t≠4時，方程組有唯一解；當t=4時，方程組有無窮多解。

參考文獻：

[1] 張禾瑞，郝炳新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]王萼芳，石生明.高等代數[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

Application Research on Elementary Transformation of Matrix

ZHAO Yi-xin，LIU Lu-jun

（School of Mathematics，Nanjing Normal University Taizhou College，Taizhou，Jiangsu 225300，China）

Abstract：The elementary transformation of matrix is a important tool in advanced algebra，this paper mainly studies using the elementary transformation of matrix，to solve in the matrix，vector space，solving system of linear equations and other issues，and gives the corresponding theoretical basis.

Key words：elementary transformation；rank of matrix；space vector；linear equations