欠驅動水面船舶的有限時間航跡跟蹤控制

王昱棋，李鐵山

(大連海事大學 航海學院，遼寧 大連 116026)

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欠驅動水面船舶的有限時間航跡跟蹤控制

王昱棋，李鐵山

(大連海事大學 航海學院，遼寧 大連 116026)

針對欠驅動水面船舶的快速航跡跟蹤控制問題，本文設計了一種基于終端滑模控制方法的分散控制器。通過引入輔助線性滑模面進行切換控制，避免了傳統終端滑模面中狀態可能為零而導致控制無窮大的奇異問題，且使欠驅動水面船舶能夠在有限時間內快速跟蹤并保持期望的軌跡。本文結合有限時間穩定性理論證明了終端滑模控制方法具有限時間收斂作用這一特性；借助Lyapunov穩定性理論證明了閉環系統的穩定性。仿真結果表明:該算法控制效果良好，且對外界環境干擾具有一定的魯棒性能。

欠驅動水面船舶；跟蹤控制；有限時間穩定性；終端滑模控制；輔助滑模面；奇異問題

近年來，欠驅動水面船舶的航跡跟蹤控制問題，因其挑戰性及其在航海領域內廣泛的實際應用，受到了學者們極大的關注[1]。欠驅動水面船舶運動控制的主要難點是橫向未裝備驅動裝置，缺少可用的控制輸入[2-3]。由于欠驅動水面船舶所具有的驅動器個數少于其自由度，所以具有加速度不可積分的二階非完整約束條件，不滿足著名的Brockett必要條件，不能轉化為無漂鏈式系統[4-6]，因此其控制設計非常具有挑戰性。盡管如此，已經有許多學者在航跡跟蹤控制問題上通過使用多種控制方法取得了有意義的研究成果，這些方法包括自適應控制[7-8]、線性代數方法[9]、模型預測控制[10-11]、Backstepping方法[12-13]、神經網絡控制[14-15]、動態面控制方法[16]、滑模控制方法[18-22]等。其中，滑?？刂品椒ㄒ蚱浜唵我仔小㈨憫俣瓤?、對外界干擾和參數攝動具有魯棒性的特點在控制領域得到了廣泛的應用。Ashrafiuon等最早將滑?？刂品椒☉迷谇夫寗哟昂桔E跟蹤問題中，算法考慮了船舶參數不確定性，利用縱蕩跟蹤誤差設計一階滑模，橫向跟蹤誤差設計二階滑模，成功跟蹤了直線軌跡和曲線軌跡，并在無人船模型試驗中進行了驗證[18]。于瑞亭等研究了在外界環境干擾和模型參數辨識不確定情況下的欠驅動水面船舶航跡跟蹤控制問題，設計了一種二階滑?？刂破鱗19]。楊震等結合神經網絡和滑模控制方法設計了一種神經滑模魯棒控制器[20]。Li等將自抗擾控制技術與滑模控制技術結合，設計了船舶航向跟蹤控制器和航跡跟蹤控制器[22]。以上方法存在一個共性問題是都沒有考慮有限時間穩定性。

論文對外界環境干擾影響下的欠驅動水面船舶航跡跟蹤控制有限時間穩定性問題進行了研究，采用終端滑模控制方法[23]，實現了預期有限時間內的航跡跟蹤控制，并在控制器設計中引入了輔助滑模面[24]，避免了終端滑?？刂破髦锌赡軙霈F的控制器奇異問題。最后通過仿真驗證了所提出方法的有效性。

1 欠驅動水面船舶數學模型

1.1 欠驅動水面船舶數學模型

本文中的船舶航跡跟蹤問題是針對水面船舶，只需考慮船舶前進、橫漂和艏搖三個自由度的運動問題[25]。圖1為船舶平面運動變量描述圖。

圖1 船舶平面運動變量描述圖Fig.1 Planar model of a surface vessel

欠驅動水面船舶的動力學方程和運動學方程表示為[2]

(1)

(2)

式中：η?[xyψ]T∈R3，v?[vxvywz]T∈R3，ω=[ω1ω2ω3]T為有界外界干擾，τ?[Fx0Tz]T∈R3，Fx和Tz分別為水面船舶的縱向推進力和轉向力矩。R(ψ)∈R3是傳遞矩陣：

(3)

其中，RT(ψ)=R-1(ψ)。

M∈R3×3,是慣性參數矩陣：

(4)

通過選擇合適的物體固定坐標系原點[8]，m23能夠滿足m23=0。

C(v)∈R3×3,是科里奧利和向心力矩陣：

(5)

D(v)∈R3×3，是水動力阻尼參數矩陣：

(6)

假設慣性參數矩陣和水動力阻尼參數矩陣都是常值對角矩陣，則式(2)的簡化模型如下

(7)

注1：考慮船舶沒有側推器，即Fy=0。兩個螺旋槳產生前進方向上的推進力和首搖運動轉向力矩，即τ=[Fx0Tz]Τ，與欠驅動水面船舶一致。

1.2 有限時間穩定性

現在介紹將用到的有限時間穩定性引理。首先考慮如下非線性動態系統：

(8)

式中：x(t)∈ξ?Rn，是系統的狀態矢量；ξ是開集；0∈ξ，f(x(t))在ξ上是連續的，f(0)=0。

針對系統(8)，有如下引理：

引理1[26]考慮非線性動態系統(8)，設ξ′∈ξ為與式(8)相關的不變集。假設存在一個連續微分方程

V(x(t)):ξ→R，實數c>0，α∈(0，1)，如此，V(x)=0，x∈ξ；V(x)>0，x∈ξ/ξ′且V′(x)f(x)≤-c(V(x))a，x∈ξ。則不變集ξ′是具有有限時間穩定性的。并且調節時間函數滿足：

(9)

式中，x0在ξ′的開鄰域內。

注2：有限時間穩定性保證了系統每一個狀態都能在預期有限時間內到達系統的原點，引理1給出了不變集的有限時間穩定性。

2 跟蹤控制器設計及穩定性分析

(10)

由(7)得

(11)

式中：η=[xyψ]T表示船舶在慣性坐標系中的位置，v=[vxvywz]T表示船舶在物體固定坐標系中的速度，mij和dij是正常數。

對(10)求導得

(12)

其中

采用SPSS 20.0統計學軟件對數據進行處理，計數資料以百分數（%）表示，采用x2檢驗，以P＜0.05為差異有統計學意義[2] 。

控制目標是使以上系統的狀態在有限時間內達到且保持期望的穩態值。設跟蹤目標的期望軌跡方程為ηL(t)，t≥0。

引入誤差變量為

(13)

(14)

(15)

(16)

定義非線性滑模面S為

(17)

其中C=diag(c1,c2,c3)，ci>0，i=1，2，3；R(e)?diag(sign(e1)，sign(e2),sign(e3))，ei∈R，i=1，2，3。

(18)

(19)

(20)

式中：M?R3×R3，d(·，·)是有界的。

定義M為

(21)

其中，

λ?‖C‖∞+δ，δ>0。

(22)

引理2[23]：考慮誤差動態式(14)～(16)，如果滑模控制器的增益ki，i=1，2，3，滿足

ki=αi+σ

(23)

且

(24)

則由式(21)定義的設定集M是不變的。

(25)

定義輔助滑模面Saux為

(26)

(27)

其中

且

kaux=αaux+σ，αaux>0

(28)

定理1 由終端滑?？刂坡?18)和(27)及水面船舶運動系統(10)和(11)組成的閉環系統能夠在有限時間內跟蹤期望軌跡，并且使得系統的狀態在有限時間內達到且保持期望的穩態值。

選取李雅普諾夫函數

(29)

對V求導得

(30)

根據文獻[25]，滑模面具有有限時間穩定性，分散滑?？刂破魇?18)切換到式(27)。

(31)

對V求導，得

(32)

同樣根據文獻[25]，誤差狀態能在有限時間內到達滑模面。

此外，根據式(17)，閉環誤差動態定義為

(33)

因此，根據引理1誤差狀態能夠在有限時間內收斂到原點，既而保證了船舶能夠在有限時間內跟蹤期望軌跡。

3 仿真驗證

現在對上述所設計的控制器進行計算機仿真研究，以演示其性能及效果。數值仿真采用文獻[2]中的水池試驗用的船模參數進行仿真實驗，具體參數如下：

m11=200 kg，m22=250 kg，m33=80 kg，

d11=70 kg/s，d22=100 kg/s，d33=50 kg/s

外界環境時變干擾采用文獻[17]中的模型，如下：

0.196sin(0.3t)cos(0.4t)

期望的運動軌跡為圓形軌跡：

XL=3sin(t)，YL=3cos(t)。

船舶的初始值為：η1=[00-1/2]T。

滑模面參數為C1=diag[3, 3, 3]。

控制增益參數為K=Kaux=diag[2, 2, 2]。

為了更好地說明所設計的控制器效果，與傳統的線性滑模控制方法做仿真實驗進行比較，該線性滑模面設計如下：

圖2 欠驅動水面船舶的跟蹤軌跡(TSMC)Fig.2 Tracking trajectory of USV(TSMC)

圖4 控制力曲線Fig.4 Response of control forces

圖3 欠驅動水面船舶跟蹤軌跡(SMC)Fig.3 Tracking trajectory of USV(SMC)

圖5 控制力矩曲線Fig.5 Response of control torques

4 結論

通過對欠驅動水面船舶的有限時間航跡跟蹤控制器設計，并進行數值仿真實驗可以得到以下結論：

1)控制器設計中采用了終端滑模控制方法，與傳統的船舶航跡跟蹤控制方法相比，具有有限時間收斂及快速收斂的特性。

2)通過設計輔助線性滑模面，避免了控制器采用終端滑模方法可能會出現奇異值得問題。

3)給出的航跡跟蹤控制算法閉環穩定性條件易于達到，并且設計方法的可操作性較強，因此在實際應用中具有一定的參考價值。

此外，設計過程中未考慮模型未知、通信時延等復雜情況，這些問題是下一階段的研究重點。

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本文引用格式：

王昱棋，李鐵山.欠驅動水面船舶的有限時間航跡跟蹤控制[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(5)： 684-689.

WANG Yuqi， LI Tieshan. Finite-time trajectory tracking control of under-actuated surface vessel[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(5)： 684-689.

Finite-time trajectory tracking control of under-actuated surface vessel

WANG Yuqi， LI Tieshan

(Navigation College， Dalian Maritime University， Dalian 116026， China)

To realize fast trajectory tracking control for an under-actuated surface vessel， a decentralized controller was designed based on the terminal sliding mode control method， and an auxiliary linear sliding mode surface was introduced for the switch control to avoided the singularity problem in the traditional terminal sliding mode surface， i.e.， the state may be zero and the control can be infinity. In addition， this made an under-actuated surface vessel realize fast tracking and maintain the desired trajectory in a finite time. In combination with the finite-time stability theory， it was verified that TSMC has the characteristics of converging within a limited time. In virtue of the Lyapunov stability theory， the stability of the closed loop system was verified. Simulation results show that this algorithm has good control effect and has certain robustness against external environmental disturbances.

under-actuated surface vessel (USV); tracking control; finite-time stability; terminal sliding mode control (TSMC); auxiliary sliding mode surface; singularity problem

2015-12-21.

日期：2017-04-26.

國家自然科學基金項目(51179019， 61374114)；遼寧省教育廳重點實驗室基礎項目(LZ2015006)；中央高?；究蒲袠I務費項目(3132016313， 3132016311).

王昱棋(1992-)， 男， 碩士研究生； 李鐵山(1968-)， 男， 教授，博士生導師.

李鐵山， E-mail：tieshanli@126.com.

10.11990/jheu.201512069

TP273.2

A

1006-7043(2017)05-0684-06

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170426.1133.036.html