有推力約束航天器交會的模型預測制導策略

葉東， 張宗增， 吳限德

(1.哈爾濱工業大學 衛星技術研究所，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

?

有推力約束航天器交會的模型預測制導策略

葉東1， 張宗增1， 吳限德2

(1.哈爾濱工業大學 衛星技術研究所，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對具有推力幅值和方向約束的航天器交會問題，本文提出了基于模型預測控制算法的制導策略。在建立推力幅值約束和方向約束數學模型的基礎上，將交會相對動力學模型與約束模型預測控制理論相結合，以離散二次型函數為性能指標，建立了航天器交會的模型預測控制算法。本文分析了影響系統穩定性的三大因素：局部鎮定器、終端代價函數和終端約束集。仿真結果證實了算法的有效性和可行性：在推力大小和方向有約束的情況下，實現了追蹤航天器與目標航天器的快速交會。

航天器交會；制導；推力；約束；離散化；模型預測控制；混雜系統；二階錐規劃

空間交會技術是航天領域一項非常復雜、難度很大的工作。隨著航天技術尤其載人航天技術的發展，空間交會技術也得到了迅速發展和廣泛應用。未來幾十年，世界范圍內的航天活動將包括建立軌道空間站，載人登月并建立月球基地，載人行星或小行星探測等任務。從這些航天活動的特點來看，均需要實現航天器在地球軌道或星際間的交會。

交會過程中的一個重要影響因素是追蹤航天器的推力約束問題。推力約束包含兩個方面，即幅值約束和方向約束。由于航天器的承載能力有限，發動機本身能產生的推力也有限。國內外已對小推力交會問題進行了大量的研究，一般將追蹤航天器推力視為常值小推力[1-6]。文獻[7]將控制輸入約束的交會問題轉化為具有線性矩陣不等式的凸優化問題。Yamakawa使用C-W方程提出了常值徑向小推力作用下周期軌道的半解析方法[8]。Paul采用分段多項式的方法解決了常值推力下的軌道優化問題[9]。Pardis研究了航天器推力飽和時交會的優化問題[10-11]。文獻[12]研究了針對衛星星座重組機動時小推力優化問題，考慮了推力約束和過程約束。Lantoine考慮了交會中的推力幅值限制和避免碰撞約束等條件，采用有約束的線性二次調節器完成了交會過程的優化設計[13]。

此外，考慮到在交會過程中，敏感器視域、光學測量器對光照條件的要求[14]以及避免在對接時發動機火焰對目標器的影響等因素，有必要考慮推力方向約束下的制導策略。Sukhanov對考慮推力方向約束的小推力軌道轉移作了研究，得出了一些必要的優化條件[15-16]。Bertrand采用平滑策略解決了bang-bang優化控制問題，之后Mitani將平滑策略應用到具有幅值和方向約束的連續推力的軌道轉移問題上[17-18]。Willard Curtis等研究了一種新的非線性控制方法[19]，Mitani將此方法應用到交會過程，并引入推力約束，成功實現了有約束交會對接的控制律設計[20-21]。

模型預測控制不但在普通工業領域獲得了廣泛的應用[22]，而且正逐漸應用到航空航天領域。模型預測控制既可以應用到小推力航天器星際轉移問題[23]，又被應用到航天器交會和逼近操作過程的制導領域[24]。Sheared將約束模型預測控制應用到F-16模型中[25]。朱彥偉等研究了航天器近距離相對運動的模型預測控制[26]。Singh將模型預測控制應用到航天器逼近過程中，解決了多種限制下的航天飛機與ISS之間的交會對接問題[27]。

在對國內外研究現狀進行相關調研后，發現國內對推力方向受限的軌道控制問題上的研究目前文獻不多，多數研究集中在常值徑向推力方向。同時將模型預測控制應用到航天器交會過程的研究相對缺乏或者對推力約束問題的討論不深。因此，可以將模型預測控制應用到航天器交會中，并用來處理推力約束問題。

1 航天器交會動力學模型

當目標星軌道為圓軌道時的C-W方程如下[28]

(1)

進行如下變換：

(2)

式中：αmax為最大推力加速度。

(3)

其中

航天器在交會中會受到推力約束，推力約束分為幅值約束和方向約束兩部分。這里取航天器的最大推力加速度為αmax=0.02m/s2；定義推力方向角為y與-u之間的夾角，見圖1，這里取約束角為γ。下面給出推力約束條件如下：

幅值約束條件：

‖u‖≤αmax

(4)

方向約束條件：

(5)

圖1 推力方向角Fig.1 The thrust direction angle

2 模型預測控制交會制導算法設計

模型預測控制理論能夠很好地處理約束問題，因此本節將模型預測控制算法應用到航天器交會中。首先對式(3)做離散化處理，設采樣時間為T，變換為

(6)

假設預測時域和控制時域均為p，在預測時域內的迭代如下

? ?

(7)

將式(7)簡化為

(8)

其中

離散二次型指標函數選為

(9)

式中：Q=diag(q，q，q，q)，q>0;R1=I2×2，S> 0。

將式(8)代入式(9)中，可得

(10)

其中

2.1 無約束模型預測控制律

最優化求解過程是確定使得指標函數值最小的最優輸入序列：

(11)

(12)

(13)

預測控制將最優控制序列的第一個元素作用于被控對象，即有

(14)

2.2 約束模型預測控制算法

1) 0∈XT；

(15)

對上述給定的仿真條件的合理性進行分析。影響反饋矩陣κ和權重矩陣S的兩個重要參數為q和T，它們的取值分別為[0.1 1 10 50 100]和[0.001 0.01 0.05 0.1 0.5]，其中T的取值不能過大。

(16)

表1 收斂性與q、T的關系

Table 1 The relationship between system convergence and parametersq，T

Tq0.1110501000.001+++++0.01+++++0.05+++++++++0.1++++++++++++++0.5++++++———

注：其中+代表收斂性弱，++代表收斂性中，+++代表收斂性強；—代表無解。

圖2表示了Ac的閉環極點隨q的變化情況。從圖中可以看出，在T=0.05時，對應q閉環極點均在單位圓內，說明了在該條件下式(16)是收斂的。隨著q的增大，可以看出閉環極值點到原點的距離在變小，即系統的收斂性變強。

圖2 Ac的閉環極點隨q的變化Fig.2 Poles of Ac influenced by q

圖3表示了Ac的閉環極點隨T的變化情況。從圖中可以看出，在q=50時，對應T閉環極點均在單位圓內，說明了在該條件下式(16)是收斂的。隨著T的增大，可以看出閉環極值點到原點的距離在變小，即系統的收斂性變強。

圖3 Ac的閉環極點隨T的變化Fig.3 Poles of Ac influenced by T

系統終端狀態與閉環極點的特征值和特征向量具有一定的關系。通過不同的q和T值得收斂值和理論值之間的關系，見表2，從表中可以看出，在|θ|∞能夠收斂的情況下，理論值和仿真的收斂值基本相等；不收斂情形時，|θ|∞呈現一定的周期性變化，變化范圍較大。在q、T較大時，收斂值可以在30°以內。

表2 |θ|∞的收斂值與理論值

綜上所述，在計算局部鎮定器的反饋矩陣κ和終端代價函數的權重矩陣S時采用的仿真條件既考慮了系統收斂性的影響，又不至于選擇過大的T使離散化后的精度降低，同時保證在終端約束集內收斂角較小，是較為合理的選擇。

下面求解系統的終端約束集。如果系統狀態變量滿足

(17)

(18)

令W=P-1，上式根據Schur補定理，變為

(19)

終端約束集除了滿足式(18)外，還應該滿足推力約束，在這里只考慮幅值約束，即有

(20)

(21)

通過求解下面的MAXDET問題：

(22)

可得到終端約束集的P的形式，結果如下

根據上述所述，在線優化的算法即在每個采樣時刻的預測時域內求解如下最優化問題：

(23)

(24)

那么

(25)

(26)

將Jk進行變換，得到如下形式

(27)

(28)

式中：ξ為新引進的優化指標，這樣優化問題(23)轉化為二階錐規劃形式：

(29)

綜上所述，上述系統是一個混雜系統，受控對象是連續模型，控制算法需要在線滾動優化，因而是離散的。圖4表示了混雜系統的控制框圖。

圖4 混雜系統的控制框圖Fig.4 Control block diagram of mixed system

3 仿真校驗及結果分析

為驗證本文提出的算法，建立以下仿真條件：設r0=10 km，θ0=0°，那么初始位置和速度滿足[x0y0vx0vy0]T=r0[cosφ0-2sinφ0-sinφ0-2cosφ0]T。下面以初始相位角取φ0=150°時來進行仿真。地球引力常數μ =3.986×1014m3s-2，地球半徑Re=6 378.136km，目標航天器軌道高度h =500km，最大約束加速度αmax=0.02m/s2，模型預測控制下的推力約束角γ =60°，預測時域p=50，T=0.05，q=50，狀態模型的遞推步長為ΔT=0.005。仿真結束條件設為追蹤航天器與目標航天器距離r≤1 m和v≤5.5×10-4m/s。仿真結果見圖5～7。

從圖5看出，從給定的初始點位置，軌道曲線收斂到原點，即追蹤航天器能夠實現與目標航天器的交會。但無約束時，軌道曲線相對平直，目標航天器到達結束條件所需要的時間較短。在考慮約束情況時，由于對推力幅值和方向的限制，目標航天器需要在可行域內運動，這樣產生的軌道曲線相對彎曲，而且目標航天器到達結束條件時花費的時間更長。從圖6和圖7看出，在不考慮約束時，控制輸入和推力方向角在一定時間內會比較大；有約束時控制輸入和推力方向角能被限制在約束條件內。

圖5 軌道曲線Fig.5 Rendezvous orbit trajectory

圖6 控制輸入曲線Fig.6 Rendezvous control input

圖7 推力方向角曲線Fig.7 Rendezvous thrust direction

4 結論

1) 模型預測控制算法能夠很好地控制追蹤航天器實現與目標航天器之間的交會；

2) 從仿真結果來看，設計的制導策略能夠滿足系統約束的要求；

3) 相對于無約束情形，有約束交會需要花費更長的時間，軌道曲線更彎曲。

本文提出的算法基于目標星為圓軌道的情況并忽略了擾動，具有一定的局限性，因此實際應用受到一定限制，后續需要研究更復雜的情形。本文的策略將推力幅值約束和推力方向約束均考慮到交會過程中，具有一定的新穎性，為后續研究提供一定的借鑒意義。

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本文引用格式：

葉東， 張宗增， 吳限德. 有推力約束航天器交會的模型預測制導策略[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(5)： 759-765.

YE Dong， ZHANG Zongzeng， Wu Xiande. Model predictive based guidance strategy for spacecraft rendezvous with thrust constraints[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(5)： 759-765.

Model predictive based guidance strategy for spacecraft
rendezvous with thrust constraints

YE Dong1， ZHANG Zongzeng1， Wu Xiande2

(1.Research Center of Satellite Technology， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China； 2.College of Aerospace and civil Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China)

For a spacecraft rendezvous with magnitude and direction constraints of thrust， a novel rendezvous guidance strategy was proposed based on the model prediction control algorithm. Using the mathematical model of the magnitude and direction constraints of thrusts and taking the discrete quadratic function as the performance index， this paper established a model prediction control algorithm on spacecraft rendezvous by combining the constrained model prediction control theory with the relative dynamic model. Three important factors about stabilization， including a local subdue， terminal cost function， and terminal constraint set were analyzed in detail. Simulation results show the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm: when the magnitude and direction of thrust are constrained， a rapid rendezvous between the chasing spacecraft and the target spacecraft can be realized.

spacecraft rendezvous; guidance; thrust; constraints; discretization; model prediction control; hybrid system; second-order cone programming

2016-01-21.

日期：2017-04-26.

國家自然科學基金項目(61603115)；國家高技術研究發展計劃項目(2013AA122904)；中央高校基本科研業務費專項資金項目(HIT.NSRIF.2015033)；中國博士后科學基金項目(2015M81455)；微小型航天器技術國防重點學科實驗室開放基金項目(HIT.KLOF.MST.201501)；黑龍江省博士后基金項目(LBH-Z15085).

葉東(1985-)， 男， 講師， 博士； 吳限德(1963-)，男，副教授，博士.

E-mail:wuxiande@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201601074

V448.22

A

1006-7043(2017)05-0759-07

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170426.1237.052.html