數學教學中的思維能力的培養

曾燚清

摘 要：數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力。

關鍵詞：思維；培養；分類討論

數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。因此要使學生盡快地適應初中數學教材，除必須特別注意學生良好的學習態度、習慣與方法外，還必須大力激發學生的學習興趣，逐步提高他們抽象思維能力。

一、以直覺思維引路，逐步培養學生的抽象思維能力

在小學階段，關于數的計算教學還停留非負數范圍，而進入七年級后，就開始滲透負數這個概念了。在教學中，從具有相反意義的量的客觀存在，明確引進負數的必要性；從觀察溫度計上的刻度特別是零度以下的刻度中，理解數軸上負數對應的點的位置及相關坐標原點對稱的特點。

絕對值是一個很重要的概念，它是聯系小學的計算與初中代數運算的橋梁。有理數的運算法則基本上是分兩步完成：第一步是先確定結果的符號，第二步轉化絕對值運算，最后算出結果。而學生一開始也難以理解，一方面講絕對值的代數意義（分正數、負數與零的絕對值），另一方面，還根據絕對值的幾何意義，去理解不斷加深說明取絕對值后的結果非負性。同時還結合實例逆向思維，不斷加深印象。

例如：|X|=4，求X。根據“一個數的絕對值就是表示這個數離開原點的距離”這一意義，要求就是求到原點的距離等于4的點所對應的數，滿足條件的在原點右邊有一個，表示+4，在原點左邊有沒有呢？經過觀察，學生判斷也有一個，表示-4.故所求的值有兩個，即±4。再進一步抽象為當|X|=a，（a≧0）時，X=±a；當|3X-2|=b時，3X-2=±b等；而|2X+5|=-1時一定無解。

經過一段時間的學習后，開始滲透用字母表示數，我們首先說明字母a表示一個有理數，而-a一定表示負數？對否？一部分同學認為對，因為它有負號。首先我們說明“-a”一定表示負數，是不對的。在此基礎上進一步抽象出|a|=？，學生的答案就比較全面了。在學習“一元一次不等式”這一章時，學生對“不等式的解集”理解不清，首先用特值驗證法，得出不等式一系列解，例如：2.08，2.15，1.23，0，-5，-6等等均是不等式X﹤5的解，再分析小于5的個數是無數個，最后將不等式的所以的解看成一個集合，就得到不等式的解集的概念，最后把不等式的解集表示在數軸上。這樣從直觀中來，抽象出概念、法則等，再到直觀中去，不斷加深了對一些概念、法則、原理的理解，逐步提高了學生的抽象思維的能力。

二、共同探究，培養學生分類討論的能力

分類討論的能力，雖然對初中生要求不高，但初中代數第一冊中很多地方都體現了分類討論的思維。例如：絕對值的概念，分別就正數、負數、零的絕對值作了說明。若從絕對值等于它本身與絕對值小于它本身的數來說明，就只分兩種情形了。例如有理數的加法法則分三類：一是同號兩數相加；二是異號兩數相加；三是一個數同零相加，加以概括。這種分類討論說明法則具有條理清楚、系統性強、不易遺漏、便于理解記憶的特點。因此，在教學過程中，適時地滲透分類討論的思維，將有利于培養學生嚴謹的數學思維和表達能力。

例如：|a|=3，|b|=2，求a-b的值。

解：①當a=3，b=2時，a-b=1；②當a=3，b=-2時，a-b=5；③當a=-3，b=2時，a-b=-5；④當a=-3，b=-2時，a-b=-1。

又如：什么樣的數的倒數比它本身大？什么樣的數的倒數比它的本身??？

分析：±1的倒數分別等于它本身。0無倒數，然后再解。

解：①a﹤-1時，1/a﹥a；②a=-1時，1/a=a；③-1﹤a﹤0時，1/a﹤a；④0﹤a﹤1時，1/a﹥a；⑤a=1時，1/a=a；⑥a﹥1時，1/a﹤a。

故①a﹤-1或0﹤a﹤1時，1/a﹥a；

②-1﹤a﹤0或a﹥1時，1/a﹤a；

③a=±1時，1/a=a。

經過不斷地滲透，學生的分類討論的思維能力有所提高，對a不等于零分類大部分學生知道a﹥0或a﹤0。對于“a-b一定小于a嗎？為什么？”不少學生也能分b﹥0，b=0與b﹤0三種情形，給出解答。

三、一題多解，開拓學生的思維，培養學生思維的靈活性

例1 師徒兩人共同加工720個零件，師傅每小時加工144個，徒弟每小時加工96個，師傅從早上7時開始加工。徒弟比師傅遲25分鐘開始加工，問：在什么時間可以完成任務？

分析：“在什么時間可以完成任務”與“用了多少時間可以完成任務”這兩種問法的區別與聯系。前者指幾時完成任務，后者指加工了幾小時。而師徒兩人加工的時間不等。若知道其中一人加工的時間則在幾時完成任務也便可知了。反之，若知道在幾時完成任務，則師徒分別加工的時間也可表示出來。其等量關系是師徒加工的零件個數之和等于總任務。故可得出三種解法。

解一，設在X時可以完成任務，則師傅加工的時間為（X-7）小時，徒弟加工的時間為（X-7-5/12）小時。依題意得：144（X-7）+96（X-7-5/12）=720。解方程，得X=61/6，即10點10分可完成任務，這是直接解法。

解二，設到任務完成時，師傅加工的時間為y小時，則徒弟加工的時間為（y-5/12）小時。依題意得：144y+96（y-5/12）=720，（y+7）的結果便是完成任務的時間。

解三，可設到任務完成時，徒弟加工的時間為Z小時，列出方程：144（Z+5/12）+96Z=720，（Z+7+5/12）的結果便是完成任務的時間。

當然還有類似的變形解法。從略。

例2 一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為24千米/小時。順風飛行需要17/6小時，逆風飛行需要3小時，求兩個城市的距離。首先說明必備知識：（1）飛機在順風的速度=飛機無風時的速度+風速。（2）飛機在逆風中的速度=飛機在無風時的速度-風速。

解1：（直接法）設兩城市的距離為X千米，依題意，得X/3+24=X/17/6-24解這個方程：17X+24*51=18X-24*51得X=2448。答：略。

解2：（間接法）設飛機在無風時的速度是y千米/小時依題意，得17/6（y+24）=3（y-24）。

解這個方程，得y=840，3（y-24）=3（840-24）=2448。答：略。

盡管在數學教學中作了培養學生思維能力的各種嘗試，但部分學生的思維能力還不夠理想，故在數學教學中不斷提高學生思維能力是一項長期而艱巨的任務，需要我們全體教師不斷探索不斷加強，才能使學生在今后的數學學習中提高思維能力。

參考文獻：

[1]李冬勝.數學思維方法[K].山西：山西人民出版社，2010：36-41.

[2]周春荔.數學思維概論[M].北京：北京師范大學出版社，2012：101-104.

[3]丘維聲.數學的思維方式與創新[M].北京：北京大學出版社，2011：46-48.