運用正弦掃頻實現電動振動臺模型的頻域辨識

嚴俠，李曉琳，胡勇

（中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621900）

運用正弦掃頻實現電動振動臺模型的頻域辨識

嚴俠，李曉琳，胡勇

（中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621900）

目的研究以電動振動臺為典型設備的相關振動試驗裝置的頻域辨識技術。方法通過分析電動振動臺數學模型，采用正弦掃頻試驗方法，進行全頻帶振動臺空臺面正弦掃頻，并對所獲得的時域正弦掃頻數據進行頻譜分析，進而獲得系統的頻率數據，再運用復數域上的最小二乘擬合算法，完成振動臺模型傳遞函數的辨識。結果通過某型電動臺空臺面試驗，對一組實測數據進行辨識，辨識出的電動振動臺模擬與真實模擬一致。結論通過該方法并合理選取模型結構，能夠很好地辨識出振動試驗裝置的模型。

電動振動臺；正弦掃頻；傳遞函數；最小二乘；頻域辨識

振動環境試驗是產品研發中的重要環節，通過試驗可以了解或評價結構對振動環境的適應性，為產品設計修改提供參考，為產品的定型、驗收提供依據。電動振動臺是振動環境試驗的主設備，開展電動振動臺模型辨識研究，將有助于深入了解電動振動臺系統的內部結構和工作原理，準確掌握其特性與性能，并將有利于更好地設計振動環境試驗，維護設備。另外，建立振動臺模型，對開展振動控制技術研究和振動試驗仿真研究也是非常有意義的。

辨識工作早在19世紀70年代就已開始，許多經典的辨識方法都是從測量時域數據來辨識系統模型，如最小二乘（LG）[1]、廣義最小二乘（GLS）[2]，輔助變量法（IV）等[3]。前10多年里，對于線性定常系統使用頻域數據辨識模型應用也逐漸開始，尤其在一些容易獲得周期激勵信號的應用領域（如振動分析，機械伺服系統等[4—6]）。采用正弦掃頻信號作為系統的激勵，獲取系統頻域數據，已經在工業中有所應用（如Abdullah Al Mamun，2002[7]）。在一些工業應用領域（如振動分析）常采用頻域方法，運用頻域辨識，可以直接辨識系統的傳遞函數。通過進行系統的頻譜分析，通常可以獲得一個系統的非參數模型，再使用Levy法[8]等，便可以得到系統的傳遞函數。

電動振動臺辨識工作中，可采用常用的正弦掃頻振動試驗而不需要再單獨設計試驗，然后對獲得的輸入、輸出數據進行頻譜分析，便可獲得系統的非參數模型。再通過Levy法等復數域內的曲線擬合法（文中采用最小二乘擬合法），便能夠得到系統的傳遞函數。

1 電動振動臺系統模型分析

由于電動振動臺是一個很復雜的電力學系統，要精確地建立其模型是十分困難的，因此建立模型時要忽略其非線性和時變的因素。電動振動臺模型主要由力學和電學模型組成。

電動振動臺的力學模型如圖1a所示，首先，振動臺通常使用柔性底座（KB）（比如鋼螺旋簧或者空氣彈簧），允許整個振動臺垂向運動，把振動臺體（MB）的振動與建筑物地面隔離。其次，電樞組件和臺體（MB）之間也是采用柔性連接（ks），明顯地形成了彈簧/質量/阻尼振動系統。最后，電樞組件（MT，MC）被當作彈性體而不是剛體，在模型中把動圈（MC）和臺面（MT）當作是用彈簧（Kc）和阻尼連接起來的兩個分離質量。當安裝有試驗對象（MD）時，還會增加質量彈簧系統。這里主要是辨識振動臺模型，把試驗對象簡化為一個和電樞組件一起運動的質量。

振動臺的電學模型如圖1b所示，這里必須考慮電樞的電阻和電感。線圈電阻R定義了一個在振動臺輸入端子處（測量）表現出的最小阻抗。這個電阻隨著溫度的升高有所增加，隨著頻率的增大有輕微增加（由于集膚效應）。線圈的電感與鐵磁極件強烈耦合，振動臺振動時引入反生電動勢eback。整個電學回路，由振動臺的前級（功率放大器）提供外部電壓E和電流I來驅動電學回路。

圖1 電動振動臺Fig.1 The electric dynamic shaker

振動臺的力學部件和電學部件是互相耦合的，機械系統被與電流成比例的力激勵，而電路被與機械速度成比例的內部電壓（反電動勢）所激勵。

整個系統的微分方程組表示為：

系統工作中，由于阻抗受溫度和頻率的變化而變化。同時，振動臺的前級功率放大器作為其驅動也與電動臺的電學模型耦合在一起的，組成了一個復雜的帶有非線性和時變因素的高階系統。在研究過程中，忽略阻抗慢變，并假定功率放大器是線性定常系統，振動臺系統可以看成是一個高階線性模型。以振動控制器驅動信號為振動臺系統的輸入，加速度傳感器響應為系統輸出，其系統的傳遞函數為，

2 正弦掃頻信號的頻譜分析

通過系統全頻帶的正弦掃頻振動試驗，可以獲得系統輸入、輸出正弦掃頻信號數據。為了進行下一步的頻域辨識，需要將時域數據處理成辨識所需要的頻域數據，即{wi，G（jwi）}。

正弦掃頻信號的頻譜分析方法很多，但要真實和快捷地分析出信號的當前頻率、幅值和相位卻并不容易。這里利用了FFT分析整周期信號無泄漏的優點，采用對信號進行整周期截取的方法來實現正弦掃頻信號的頻域分析。

頻域分析分析方法如圖2所示，首先對正弦掃頻信號進行濾波，去除高頻干擾，然后以驅動信號作參考截取信號的1個整周期，最后對該整周期信號進行FFT分析，從而獲得系統當前的{wi，G（jwi）}。采集到的時域正弦掃頻信號（低頻段）如圖3a所示，經過數字濾波器后的信號如圖3b所示，截取的整周期信號如圖3c所示。

圖2 正弦掃頻數據分析流程Fig.2 The flow chart of sine-sweep signal data analysis

圖3 正弦掃頻信號Fig.3 The sine-sweep signal

對于整周期信號分析的好處在于，信號不需要加窗，分析的頻譜為單一的譜線，在掃頻速率較低，截取的整周期可以認為是一個標準的正弦信號，因此頻譜分析的效果很好。對驅動信號和輸出信號的頻譜分析（該信號在低頻5 Hz附近其譜線靠近起始端）如圖4所示，取其一次諧波即可得出當前信號的幅值、相位及頻率。從而也就得到了系統頻域辨識數據{wi，G（jwi）}。

圖4 信號整周期頻譜Fig.4 The whole period response signal spectrum

一個動力學系統的傳遞函數為：

可以從頻率響應數據{wi，G（jwi）}（i=1，…，N）來進行線性定常系統的傳遞函數模型的估計。

令：

在任意某個頻率wk上有：

最小二乘參數估計目標是極小化誤差標準J函數：

這里存在一個非線性估計最小二乘問題，重寫上面的方程為：

或者：

3 傳遞函數的最小二乘擬合方法

式中：θ表示參數向量，θ=［b0，b1，…bm，a1，a2，…an］T。如果系統的頻率響應在不同的頻率點上被測量，能獲得N組上面的方程：

式中：np是參數的個數，為n+m。

為了利用最小二乘估計參數向量，最小化下面的目標函數：

最小二乘參數估計給出為：

該最小二乘擬合法是一個很常用的擬合算法，這里它的誤差函數包括了（jwk）n項。當頻率增加時，會使誤差J函數增大，關于復數域上的曲線擬合問題，有多種改進算法[9—12]，將可以克服曲線擬合精度的問題。

4 應用

以辨識某型電動振動臺空臺面模型為例。辨識中，利用振動控制器作振動臺空臺面正弦掃頻振動試驗，頻率范圍為5～3000 Hz，試驗加速度為10g，掃頻速率為1 oct/min，加速度傳感器靈敏度為100 mV/g。同時采集振動臺系統的輸入、輸出數據，取采樣頻率為40 kHz，測量系統的信噪比為2%。

根據系統辨識數據，運用最小二乘擬合傳遞函數，經過頻譜分析后的振動臺空臺面系統的幅頻特性和相頻特性如圖5所示。

圖5 振動臺空臺面的頻率特性Fig.5 The frequency characteristics of the electrodynamic empty shaker

由于在辨識之前必須選定模型的結構，從幅頻特性中可以看出，整個頻段具有2個峰，低頻段上存在一個一階微分環節。選取了4組模型結構，見表1。同時給出了極小化誤差函數J的值。

從表1可以看出，在結構選擇n=6，m=5時，J值取最小，此時辨識出來的系統傳遞函數效果最好，該結構也基本吻合于振動臺的數學模型式（1）。如圖6所示，辨識出來的系統幅頻和相頻特性都擬合得很好。按照10 kHz的采樣頻率離散化后的傳遞函數模型如下：

表1 不同模型結構的辨識情況Table 1 The iderutify situations of different model stueture

圖6 辨識傳函頻率的擬合情況Fig.6 Fitting results of the identification frequency of the transfer function

5 結論

文中利用正弦掃頻信號建立電動振動臺的數學模型，在此基礎上，確認了頻域傳遞函數的大致階數。通過對掃頻數據的頻譜分析進行研究，選擇用不加窗的整周期頻譜分析方法。利用頻域數據擬合的方法建立了電動振動臺的參數化模型。通過對一組實測數據進行辨識，辨識出的電動振動臺模擬與真實模擬一致。

[1] LJUNG L，S?DERSTR?M T.Theory and Practice of Recursive Identification[M].Cambirdge：MIT Press，1983.

[2] S?DERSTR?M T，STOICA P.System Identification[M].Englewood Cliffs：Prentice Hall International，1989.

[3] JOHANSSON R，System Modeling and Identification[M].Englewood Cliffs：Prentice Hall，1993.

[4] LJUNG L.SomeResultson Identifying Linear Systems Using Frequency Domain Data[C]//In proceedings of 32nd Conference on Decision and Control.San Antonio，1993.

[5] SCHOUKENS J，PINTELON R.Identification of Linear System，a Practical Guideline to Accurate Modeling[M].London：Pergamon Press，1991.

[6]VRIES de D，VAN den H of PMJ.Frequency Domain Identification with Generalized Orthonormal Basis Functions[J].IEEE Trans Autom Contro，1998，43（5）：656—659.

[7] ABDULLAH A M，LEE T H.Frequency Domain Identification of Transfer Function Model of a Disk Drive Actuator[J].Mechatronics，2002（12）：563—574.

[8] LEVY E C.Complex-curve Fitting[J].IRE Trans on Auto Control，1959，4（1）：37—43.

[9]MCCORMACK A S，GODFREY K R.Rule-based Auto Tuning Based on Frequency Domain Identification[J].IEEE Trans Control Syst Technol，1998，6（1）：43—61.

[10]PINTELON R，GUILLAUME P，ROLAIN Y，et al.Parametric Identification of Transfer Function in the Frequency Domain-a Survey[J].IEEE Trans on Autom Control 1994，39：2245—2260.

[11]ROLAIN Y，PINTELON R，XU K Q，et al.Best Conditioned Parametric Identification of Transfer Function Models in the Frequency[J].IEEE Trans on Autom Control，1995，40（11）：1954—1960.

[12]顧啟泰，劉學斌.Levy方法的改進[J].航空學報，1997，18：735—738.GU Qi-tai，LIU Xue-bin.Improve Levy Method[J].Aeronautics 1997，18：735—738.

Application of the Sine-sweep Test in Model Frequency Identification for a Electrodynamic Shaker

YAN Xia，LI Xiao-lin，HU Yong
（Institute of Systems Engineering，China Academy of Engineering Physics，Mianyang 621900，China）

ObjectiveTo study the frequency domain identification technology for vibration test equipment,using the electric dynamic shaker as a typical device.MethodsFirstly,the mathematics model of the electrodynamic shaker was analyzed,secondly,the sine-sweep test was used for whole-frequency sine sweep of the empty vibration table,and the sine-sweep signal data acquired was subjected to frequency spectrum analysis.So the frequency data of the electrodynamic shaker system was acquired.Finally,the least squares complex-curve fitting algorithm was used to accomplish the identification of the transfer function for the vibration table model.ResultsThrough test with an empty electrodynamic shaker,a group of measured data was identified,and the electrodynamic shaker simulation mode identified was consistent with the real simulation.ConclusionUsing this method,in combination with matching the structure of the shaker model,the model of the vibration test equipment could be well identified.

electrodynamic shaker；sine-sweep；transfer function；least squares；frequency identification

2014-12-21；

2015-03-05

嚴俠（1977—），男，四川人，碩士，高級工程師，主要研究方向為振動控制、振動試驗技術等。

Biography：YAN Xia（1977—），Male，from Sichuan，Master，Senior engineer，Research focus：vibration control&vibration test technology.

10.7643/issn.1672-9242.2015.02.010

TJ01；O324

A

1672－9242（2015）02－0044-05

2014-12-21；

2015-03-05