對貨幣時間價值的再認識
——年計息n次的復利計息現值計算探討

武國輝，周一萍

(黃岡師范學院 商學院，湖北 黃州 438000)

對貨幣時間價值的再認識
——年計息n次的復利計息現值計算探討

武國輝，周一萍

(黃岡師范學院 商學院，湖北 黃州 438000)

貨幣時間價值原理在企業籌資、投資決策當中起著基礎性作用，在對復利現值計算進行介紹的基礎上，對該例題進行了深入剖析，并對半年計息一次的復利現值低于一年計息一次的復利現值原理進行了歸納。進一步的運用二項式定理得出了年計息m次復利現值計算規律，復利現值計算規律的歸納總結能夠指導企業的投融資決策。對于企業籌資而言，在相同的名義利率下，計息期越短，其實際負擔的資本成本越高。對于銀行等金融機構的貸款行為而言，在相同的名義利率下，計息期越短，意味著其實際收益率越高。

貨幣時間價值；復利現值；二項式定理

貨幣時間價值原理是財務管理的一項基本價值觀念，長期投融資決策必須考慮時間價值因素，時間越長，貨幣時間價值的影響就越大。因此，貨幣時間價值的計算是財務管理中的一個基礎性的問題。特別是計息期短于一年時間價值的計算，是教學中的一個難點問題。本文將通過對教學案例的講解和剖析，試圖運用數學原理說明每年計息n次復利現值計算中的一些規律性問題。

1 教材例題講解

根據貨幣時間價值計算原理，當計息期短于1年，而利率又是年利率時，計息期數和計息利率存在如下換算關系：

t=m×n

式中，R表示期利率；i表示年利率；m表示每年的復利計息頻數；n表示年數；t表示換算后的計息期數。

為了說明問題方便，本文從一個教學案例談起[1]，教學案例選取的是荊新、王化成、劉俊彥主編，中國人民大學出版社出版的《財務管理學》第七版第2章的一個例題，詳見該書第39頁例2-13。

某人準備在第5年年末獲得1000元，年利息率為10%。試計算：(1)如果每年計息一次，則現在應存入多少錢？(2)如果每半年計息一次，則現在應存入多少錢？

(一)如果每年計息一次，即n=5，i=10%，FV5=1000，則

PV=FV5×PVIF10%,5=1000×0.621=621元

(二)如果每半年計息一次，即m=2，則

t=m×n=2×5=10

PV=FV10×PVIF5%,10=1000×0.614=614元

需要強調的是，復利現值計算的基本規則是折現率和計息期數應該配比。如果折現率選擇年利率，那么計息期數是以年為一期(如例題第一種情況所示)；如果折現率選擇半年期利率，那么計息期數是以半年為一期(如例題第二種情況所示)；相應的，如果折現率選擇季度、月、星期、天等，計息期數也應該分別以季度、月、星期、天為一期。當然，同樣道理，復利終值的計算也應該注意折現率和計息期數的配比。對于年金現值和終值的計算，則應關注年金A和折現率、計息期數的配比[2]。

2 對教材例題的進一步分析

應該注意到，第二種情形下復利現值為614元，第一種情形下復利現值為621元，也就是說半年計息一次的復利現值小于一年計息一次的復利現值。這是為什么呢？老師們通常是這樣解釋的：因為復利計息，半年計息一次的情形下在半年到期就產生利息，參與了下一期利息孳生利息的計算，因此比一年計息一次利息孳生的速度要快，因此第一種情形的復利現值大于第二種復利現值[3]。

這樣定性的解釋并沒有錯，但是如果能用數學的方法把這個問題作進一步的解釋，似乎更加符合學術研究的基本邏輯，也能使學生的學習更加深刻。

如果直接運用復利現值的計算公式，上述答案可以寫為： (一)如果每年計息一次，即n=5，i=10%，FV5=1000，則

(二)如果每半年計息一次，即m=2，則

t=m×n=2×5=10

同樣可以正確計算出復利現值，并且得出半年計息一次的復利現值小于一年計息一次的復利現值的結論。下面，我們把上述結論按照如下思路進行推演：

因為：

所以：

(Ⅰ)

3 年計息兩次復利現值規律

根據上述推理，可以得出每半年計息一次復利現值小于每年計息一次復利現值的基本規律，具體論證如下：

其中，m、n為自然數。當m=1時，有：

(Ⅱ)

上述推理過程正是例題的論證過程，不同的是，這里的利率是一個更加一般化的大于零的利率，n可以為任意自然數，FVn可以為任意大于零的值。

4 年計息m次復利現值規律

上述推理過程較好的證明了半年計息一次的復利現值小于一年計息一次的復利現值的結論。但是，上述推理過程不具有普遍性。為了探索更具一般性的復利現值計算規律，假設復利現值為PVt,復利終值為FVt，(本文用FVt表示每年計息m次的復利終值，用FVn表示每年計息1次的復利終值，而且FVt=FVn)；R表示期利率；i表示年利率，i>0；m表示每年的復利計息頻數；n表示年數；t表示換算后的計息期數。則：

更一般地，根據二項式定理(也稱楊輝三角)：

(Ⅲ)

當m=1時：

當m=2時：

當m=3時：

觀察楊輝三角系數可知，當m≥2時：

(Ⅳ)

根據上述推理可知，年計息m次的復利現值小于年計息m-1次的復利現值。

在既定的利率和終值下，隨著每年計息次數的增加，復利現值會變小。也就是說計息期越短，貨幣時間價值所起的作用越大。貨幣時間價值原理對企業的投融資行為具有重要影響。對于企業而言，意味著在進行籌資時，在相同的名義利率下，計息期越短，其實際負擔的資本成本越高。對于銀行等金融機構的貸款行為而言，在相同的名義利率下，計息期越短，意味著其實際收益率越高[4]。復利計息計算規律提示公司財務經理：在簽訂借款合同時，除了要注意利率、抵押條件等條款外，還應該注意利息計算方式的影響，利息計算方式的差異會導致資本成本的差異。復利計息計算規律提示商業銀行客戶經理：在放貸過程中，除了控制信貸風險和獲得收益外，可以利用計息條件的差異調節實際利率，從而獲得更高的收益率水平。同樣，保險公司、基金公司的精算師們在設計金融產品時，同樣可以通過收益支付方式的精細化設計實現風險和收益的最佳匹配，在迎合不同客戶需求時獲得最大程度的主動權。

[1] 荊新，王化成，劉俊彥.財務管理學 (第七版)[M].北京：中國人民大學出版社，2015：39.

[2] 姚暉.會計準則中的貨幣時間價值：發展歷程與展望[J].財會通訊，2009,(09)：63-66.

[3] 張萍香.貨幣時間價值在投資決策中的應用[J].經濟與管理，2012,(02)：35-38.

[4] 劉秀英.貨幣時間價值在企業籌資中的應用[J].天津商務職業學院學報，2013,(01)：24-26.

責任編輯 周覓

2017-04-06 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2017.03.16

武國輝，男，河北張家口人，講師，碩士，主要研究方向為財務管理；周一萍，女，江西寧都人，教授，碩士，主要研究方向為會計學。

黃岡師范學院科研項目(KYCH/2014017603)。

F012

A

1003-8078(2017)03-0072-04