黃岡市近四年中考二次函數壓軸題的解題研究

楊媛媛，吳衛兵

(黃岡師范學院 數理學院，湖北 黃州 438000)

黃岡市近四年中考二次函數壓軸題的解題研究

楊媛媛，吳衛兵

(黃岡師范學院 數理學院，湖北 黃州 438000)

本文分析了黃岡市近四年中考數學二次函數壓軸題，在分析總結二次函數壓軸題的特點上，以函數上的動點為核心，對這類題型進行了分類討論，并針對不同類型給出了相應的解題思路和方法，最后對二次函數壓軸題的解題思路進行歸納總結。

中考題；二次函數；拋物線；解題研究

每年中考的二次函數壓軸題都體現著中考的命題趨勢和特點，縱觀黃岡市近幾年的中考試題，不難發現最后的二次函數壓軸題都趨向于動態問題的研究，黃岡市中考數學試題歷年來在壓軸題上都注重對學生基礎及能力的考查，同時也很好的把握了試題的區分度，在基礎和能力上做到并重，讓不同的學生得到不同的發展，總之，壓軸題的內容與結構充分體現了綜合性、可選擇性與均衡性，完全符合新課標的要求[1]。在新課標中，考試內容改革要求各科命題要注重考查學生運用知識分析問題、解決問題的能力，這樣更有利于發揮學生的創造性。數學考試應在考查學生基本運算能力、思維能力和空間觀念的同時，著重考查學生運用數學知識分析和解決簡單實際問題的能力。

1 二次函數壓軸題的特點

二次函數作為初中數學教學的重點內容，成為備受師生關注的熱點問題。初中數學的二次函數教學的目的主要是培養學生數形結合、化歸、方程及函數等重要數學思想，對于二次函數壓軸題，應該從多角度、多層次去看待題目，要深入挖掘題目中的內在聯系、辨別條件、結論之間的關聯，確定該題目的類型，從而更好地確定解題思路。針對黃岡市近四年中考二次函數的壓軸題的研究，發現了以下特點。

首先，盡管二次函數壓軸題型多種多樣，但是其重點仍然是考察二次函數的基礎知識與內涵。因此，需要熟練掌握二次函數的數形特點、平移、變換等法則。

其次，二次函數壓軸題越來越注重與幾何圖形的結合，更強調數形結合的思想，綜合性越來越強。

再者，二次函數壓軸題加強了對學生思維能力的考察。二次函數壓軸題要求學生具備問題探究、信息獲取、空間想象、綜合分析等多種能力，充分體現了新課改下數學的特點。

最后，中考二次函數壓軸題加強了數學問題與工程應用、生活實際問題相結合，具體化抽象，將實際問題數學化，讓學生充分感受到數學與生活的聯系[2]。

2 二次函數壓軸題類型的歸納與分析

在初中數學中與“運動、變化”有關問題一般都是教學中的難點，新課程實施以來，降低了平面幾何論證的要求，以純幾何為背景的壓軸題，是近幾年來中考壓軸題的一種重要題型。這類試題能將代數與幾何的眾多知識有效整合，能有效考察學生分析問題和解決問題的能力，較好的滲透分類討論、數形結合、化歸等數學思想[3]。本文以黃岡市近四年的中考二次函數壓軸題為例進行分析。

2.1 動點與直線相結合

(1)求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；

(2)當點Q在CO邊上運動時，求ΔOPQ的面積S與時間t的函數關系式；

(3)以O、P、Q為頂點的三角形能構成直角三角形嗎？若能，請求出t的值，若不能，請說明理由；

(4)經過A、B、C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點嗎？若能，請求出此時t的值(或范圍)，若不能，請說明理由。

分析：2013年第(4)問中，證明三線是否交于一點，以及在2015年中考卷第(3)問中求t值使得OP=PQ均為動點與直線相結合的問題。針對此類問題，可按以下思路來解決：

首先，化動為靜，分析動點的軌跡，確定其坐標，以及變量的范圍；

其次，再根據題目要求的結果進行逆推思想，像2013年第(4)問根據三線交于一點的性質先將其中兩條線的表達式求解出來，然后聯立方程求出交點；

后代入另一個方程中，看是否能求出滿足條件的變量。

第(4)問要說明三線是否交于一點，在此題所給的條件下，本文首先要求出拋物線的對稱軸，然后易于求出直線OB解析式，先假設三線交于一點，則可以利用拋物線的對稱軸和直線OB的解析式求出它們的交點坐標，設為M,由于點Q和點P都是動點，為了確定它們的解析式，則利用假設三線交于點M的條件，用頂點M和動點P列出PM的解析式，最后根據點Q運動的兩種情況分別將其坐標代入解析式，若能解出與條件相符合的t，則說明三線能交于一點，若這樣的不存在則說明三線不能交于一點。

例題2：在矩形OABC中，OA=5,AB=4,點D為邊AB上一點,將ΔBCD沿直線CD折疊,使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系。(2015黃岡市,24題，如圖2所示。)

(1)求OE的長。

(2)求經過O,D,C三點的拋物線的解析式；

(3)一動點P從點C出發，沿CB以每秒2個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當點P到達點B時，兩點同時停止運動。設運動時間為t秒，當t為何值時，DP=DQ；

(4)若點N在(2)中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N，使得以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由。

分析：2015年第(3)問涉及到拋物線的動點問題需要用以動化靜的方法來解決。則要用變量分別表示出兩條線段，然后聯立方程求出變量。具體思路如下：

方法二：這種方法計算上比較簡單，在思維上要求高一點，根據題目給出的折疊條件，可以結合DP=DQ證出RtΔDBP?RtDEQ(HL)(這里要求學生掌握三角形全等的運用)，由此我們可以得出BP=EQ,然后根據二者有關t的表達式解出t的值。

評析：上述2例題主要考查拋物線的綜合應用，涉及待定系數法、全等三角形的判定和性質、折疊的性質、平行四邊形的性質等知識點?？疾閯狱c與直線相結合為主，考查知識點較多，綜合性較強，難度適中。

2.2 動點與幾何圖形相結合

2.2.1 動點與三角形相結合

(1)求點A，點B，點C的坐標；

(2)求直線BD的解析式；

(3)當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；

(4)在點P的運動過程中，是否存在點Q，使ΔBDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

2013年第(3)問和2016年第(4)問均涉及到了動點與三角形相結合的問題，針對此類問題，解題思路如下：首先根據動點的運動軌跡，確定動點的運動范圍以及動點的坐標，然后再根據題目所給的直角三角形的性質利用方程思想求解。如2013年和2016年中給出的都是直角三角形，那么利用變量將三邊表示出來利用勾股定理即可求解，在此類問題中需要注意的是動點運動的軌跡以及變量的范圍問題。

評析：上述2例題主要考查二次函數與三角形結合，該題型主要考查學生的基本功，三角形是幾何證明和解析的基礎，通過將一次函數、二次函數、一元二次方程靈活地同相似三角形、直角三角形、等腰三角形等特殊的三角形相結合，解題時需要借助作圖進行分類討論，考查學生數形結合的數學思維能力。

2.2.2 動點與平行四邊形相結合

2015年第(4)問和2016年第(3)問中均給出的是平行四邊形，相比較而言，2015年第(4)問較為復雜，因為它沒有給出平行四邊形的頂點順序。而2016年第(3)問則詳細的給出了平行四邊形的頂點的順序，那么在這種情況下，則只需要將動點所表示的邊用變量表示出來，然后根據平行四邊形的性質即可求解。那么在沒有明確給出四個頂點的位置的時候，就需要進行分類討論，這里就強調了分類討論的思想。具體解體情況如下：

以2015年第(4)問為例，要求出能使M,N,C,E為頂點的四邊形的M和N，由于N在拋物線上，則可設出N的坐標為(-2,n)，可設N點坐標，由于M點在拋物線上，故設點M的坐標為(m,y)。然后根據M,N,C,E為平行四邊形的可能性，利用對角線將其分為三種情況：(1)EN為對角線,(2)EM為對角線,(3)EC為對角線。根據平行四邊形對角線平分可求得對角線的交點橫坐標，從而可求得M點的橫坐標，再代入拋物線解析式可求得M點的坐標。

此題難度系數較高，主要突破口是如何表示這個平行四邊形四個點的組合方式，根據點N和點M所處的位置，利用對角線的不同來進行分類?？疾炝似叫兴倪呅蔚男再|以及分類思想。

評析：二次函數與四邊形結合，該題型主要是將四邊形與拋物線結合，四邊形頂點或者中點是拋物線上的一動點，既考查特殊四邊形的判定定理，也考查拋物線的特征性質。如果給出的是菱形、正方形、圓等其他幾何圖形，一定要注意每一類幾何圖形的特點和性質，根據這些性質和題目已知的條件進行分析，做到層層遞進，在這個過程中要注意逆向思維以及數形結合的思想方法，做到有理有據，條理清晰，從而達到解題的目標。

2.3 動點與分類討論相結合

例題4：在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，A(1,-1),B(3,-1),動點P從O點出發，沿x軸正方向以2個單位/秒的速度運動。過P作PQ⊥OA于Q。設P點運動的時間為t秒(0

(1)求經過O、A、B三點的拋物線的解析式并確定頂點M的坐標；

(2)用含t的代數式表示P、Q兩點的坐標；

(3)將ΔOPQ繞P點逆時針旋轉90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由；

(4)求S與t的函數解析式。

此例題中的第(3)問和第(4)問，均涉及到了動點與分類相結合的問題。分類討論都是由于動點的運動所引起的，在第(3)問中由于有兩個動點都可以滿足題設條件，故需要分兩類情況討論，而在第(4)問中則是因為動點運動引起變量范圍的變化使得我們解題時需要分類討論。在運動中會出現滿足條件的一個臨界值，找到這個值就可以確定分類討論的突破口，從而復雜問題簡單化。針對此類問題，要分析題目所給的條件以及題目所要求的目標之間的聯系，在這兩者之間搭起橋梁就使得我們解題更加方便，學生要重點掌握分類討論問題，分類問題不僅單獨的出現，而且也會出現在動點與幾何圖形中相結合的問題中，實質上都是由于動點變化引起變量的變化造成的，具體解題如下：

以第(3)問為例：首先要分類討論，即O點或者Q點在拋物線上，接下來就是分析旋轉后這兩點的坐標能否用含t的式子表示出來，有了求解(2)的經驗，就容易分析，當ΔPOQ繞點P逆時針旋轉90°后，點O的坐標為(2t,-2t)，點Q的坐標為(3t,-t)，再分兩種情況討論。

情況一：0

評析：此問難度系數較大，涉及到分類思想，主要突破口在于分幾類，如何進行分類，這也就需要找到分類的臨界值，那么這幾類的臨界值是怎么找出來的，則需要根據題目所要求的結果和已知條件進行分析，在一定范圍內滿足所求結果，超過這個范圍就會發生變化，這也就是要尋找的臨界值的特點。分類之后能否畫出相應的草圖來分析，數形結合解數學應用題的關鍵和突破口，根據圖像可以更加直觀具體的看出變量之間的關系，有利于學生更加清楚、深刻的理解題目，從而更好的解題。做題的時候一定要多思考，多問幾個為什么，以及多角度，多層次的去分析不同基礎條件之間的關聯，學會挖掘潛藏的條件，這才是解題的關鍵進而使看似復雜的問題簡單化[4]。

圖1 例題1圖示 圖2 例題2圖示

圖3 例題3圖示 圖4 例題4圖示

動點與函數相結合，以函數圖形為背景，以動點為元素，構造動態型幾何圖形。上述題目均為動點問題，以動點為問題的研究對象，把函數、方程、直線、三角形、四邊形等眾多知識點整合在一起。壓軸題考察的不是單一的知識點，而是將所有的知識點綜合歸納在一起，但是萬變不離其宗，幾何圖形經過翻折、旋轉、平移等以及運動的點是否能滿足構成三角形的條件或面積是否成比例等問題，但是要意識到圖形中依然存在著不變的因素，這些不變的因素就是解決問題的關鍵，所以我們要學會在動態問題中找到不變的因素，從而達到將動點問題用定量來分析，這就要求學生具備分析問題的能力以及敏銳的視角，將綜合的知識點進行分散分析再綜合，對知識點進行提煉和整合，以達到解題的最佳效果[5]。

3 二次函數壓軸題的解題思路

中考壓軸題最終考查的還是各個知識點的基礎，而目前中學生應用題的解題基礎相對薄弱，初中應用題的教學方法不科學，大部分學校提倡題海戰術，希望通過反復做題將短期記憶變成長期記憶，然而這種方法只是滿足了考試的需求，并沒有達到培養學生數學思維以及用數學方法來思考問題的能力，而且學生缺少實際操作培訓和分析問題的能力，只是一味的反復加強做題方法的記憶，會導致學生對這種方法沒有一個全面而深刻的理解。因此，提高初中數學應用題的解題能力，就要改變傳統的應試教學模式，提高教學的靈活度。

首先，要培養初中生對應用題的學習興趣，這樣可以極大程度的調動學生的自主能動性。

其次，要進行應用題分類教學，讓學生在實際生活中感受到數學的存在，并對其進行深刻的理解，幫助學生尋找應用題解題規律，讓學生成為學習的主體，真正的做到學生學，老師輔助，而不能進行滿堂灌式教學，這樣時間久了會極大的打擊學生自主學習的動力，學習數學最主要的目的是要提高學生的邏輯思維能力以及分析能力，真正達到數學使人周密的效果。新課改下倡導人人都接受良好的數學教育，人人都能在數學中得到不同的發展。

再者在應用題教學中充分利用輔助工具或者進行實驗模擬，讓學生能更加深刻直觀的感受到數學的樂趣，將枯燥抽象的數學知識生活化，讓學生能夠感受到數學的生活之美，從而更好的去迎合新課標下學習數學的要求。

最后在應用題教學中要變學數學為用數學，要讓學生能夠感受到數學在實際生活中的應用，正確理解學習數學的理念，最終達到提高思考問題的思維能力以及解決問題分析問題的能力。

在新課改背景下，數學教學目的更加傾向于學生應用能力與解決實際問題能力的培養，比如在講解函數運用問題的時候，教師要充分利用多媒體等教具，制作出動態的函數圖像，培養學生在運動問題上的感知能力，或者可以利用相關生活實例將其抽象成數學問題，讓學生在實際生活中去找例子，并對不同的問題進行分析和思考，分組進行討論，讓思維達到溝通和交流，從而更好的達到獲取解決問題的能力。數學不僅在科學，生活，工程等各個領域各個方面都有應用，而且還在邏輯思維方面發揮了極其重大的作用。所以學生學好數學，掌握好數學的學習能力，以及解決和分析問題的能力就成了廣大教師工作任務的重中之重。

[1] 駱傳樞.對數學課程標準(2011年版)“二次函數”的解讀與思考[J].中學生數理化：中考版,2012，(11)：4.

[2] 潘月燕.中考壓軸題(二次函數)解題思路探討[J].課程教育研究,2014，(34):111.

[3] 張小林.在運動中分析在變化中求解——2008年中考數學動點型壓軸題歸類評析[J].中學數學,2009，(5)：14-18.

[4] 沈鶯鶯.確定標準好分類，思辨命題來改編[J].中學數學,2014，(10)：38.

[5] 樊玲.分析數學中考幾種壓軸題的解題思想[J].數理化解題研究,2014，(5)：3.

責任編輯 王菊平

2016-12-22 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2017.03.20

楊媛媛，女，湖北宜昌人，數學與應用數學201301班學生。

吳衛兵，男，湖北蘄春人，講師，主要研究方向為數學教育。

黃岡師范學院實驗教學示范中心實驗教學研究項目(zj201606)。

O182.1

A

1003-8078(2017)03-0084-06