波動性的高頻指標(biāo)對收益分布預(yù)測能力的影響分析

朱萬銳++唐大為

[摘要]當(dāng)今許多金融問題，例如VaR計算、期權(quán)定價等，都需要首先對收益率的分布特征有比較準(zhǔn)確的描述。之前的研究發(fā)現(xiàn)衡量波動性的高頻指標(biāo)——已實現(xiàn)波動（realized volatility，RV）——可以幫助我們更好地預(yù)測收益率分布。文章探究這個結(jié)論是否適用于中國市場。

[關(guān)鍵詞]高頻指標(biāo)；市場；收益分布；預(yù)測能力

[DOI]1013939/jcnkizgsc201718063

1引言

我們將異質(zhì)自回歸（HAR）模型（Corsi，2009； Andersen et al，2007）與基準(zhǔn)模型EGARCH進(jìn)行比較，比較的方法是“預(yù)測似然度”。預(yù)測似然度是根據(jù)已實現(xiàn)收益率預(yù)測得出的概率密度，是一種衡量數(shù)據(jù)與模型吻合程度的指標(biāo)。模型的預(yù)測能力越好，它的預(yù)測似然度就會越大。平均預(yù)測似然度的期限結(jié)構(gòu)能夠顯示RV在長短不同的預(yù)測步數(shù)中有多大的作用。

2數(shù)據(jù)

本文選取2008年1月1日至2015年12月31日期間上證綜指5分鐘交易數(shù)據(jù)作為研究對象。中國股市的開盤時間為9∶30-11∶30和13∶00-15∶00，所以每個交易日會有48個5分鐘交易數(shù)據(jù)。對于每個5分鐘交易數(shù)據(jù)，我們計算一個5分鐘連續(xù)復(fù)利對數(shù)收益率，并乘以100進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，記為rt，i（i=1，…，I），其中 I 為第t天里5分鐘收益率的個數(shù)。在中國，I通常等于48，但由于會存在一些交易日提前閉市，所以1945個交易日中一共產(chǎn)生了93360個5分鐘收益率。其中，2008—2012年的數(shù)據(jù)用于模型估計，2013—2015年的數(shù)據(jù)用于預(yù)測，故樣本內(nèi)包含1218個交易日，樣本外包含727個。

3RV定義

RV定義為一段時間內(nèi)收益率的平方和，在股價連續(xù)且沒有測量錯誤時，是波動性的一種無偏估計量（Merton，1980）。未經(jīng)調(diào)整的日RV估計量如下計算：

RVt，u=r2t，i（1）

隨著日內(nèi)收益率頻率的上升，RV會存在偏誤問題——即市場微觀噪音（Fang，1996； Andreou and Ghysels，2002； Oomen，2002； Bai、Russell and Tiao，2004）。為了消除有偏性和不一致性，我們采用Hansen and Lunde（2006）所建議的Bartle 權(quán)重對RV進(jìn)行調(diào)整，經(jīng)調(diào)整的RV如下計算：

RVt，ACq=r2t，i+2qj=1[（1-jq+1）It-ji=1（rt，irt，i+j）]，其中，q=1，2，3（2）

為了跟波動性指標(biāo)相匹配，日收益率應(yīng)該使用每天收盤價和開盤價之間的對數(shù)差，同樣乘以100來標(biāo)準(zhǔn)化。我們將日收益率的方差設(shè)為基準(zhǔn)，不同RV的均值與其均值做比較，選擇最接近的RV用于HAR-RV模型。經(jīng)過統(tǒng)計性分析，日收益率的方差為2761572；當(dāng)q=0，1，2，3時，RV的均值分別為2151439、2114523、20197238、2162044。可以看出，未經(jīng)調(diào)整的RV確實存在很大的偏誤。當(dāng)q=2時，RV2的均值與日收益率的方差最接近，所以，HAR-RV模型采用RV2。

HAR-RV模型的估計結(jié)果

ln（RVt）=ω+1ln（RVt-1）+2ln（RVt-5，5）+3ln（RVt-22，22）+Vt

Coefficients

ω123

-006955028251028352037673

4基準(zhǔn)模型

我們在GARCH族中考慮了三種模型：GARCH、EGARCH和TGARCH。經(jīng)回歸EGARCH模型的最大似然度最大，因此選擇EGARCH（1，1）作為基準(zhǔn)模型。

5HAR-RV模型

Corsi（2009）提出了一個新模型——已實現(xiàn)波動的異質(zhì)自回歸模型（HAR-RV）。在這個模型中我們可以加入日內(nèi)數(shù)據(jù)，模型設(shè)定如下：

rt=σtεt，εt～NID0，1

ln（RVt）=ω+1ln（RVt-1）+2ln（RVt-5，5）+3ln（RVt-22，22）+υt（3）

51收益率過程

在標(biāo)準(zhǔn)HAR-RV模型中，高頻收益率過程只由日波動率[AKσ～]（d）t決定。模型假設(shè)[AKσ～]（d）t=σ（d）t，其中σ（d）t是日波動率。收益率過程如下所示：

rt=σ（d）tεt，εt～NID0，1（4）

52RVt 等式

HAR-RV的波動性主要來自三方面：進(jìn)行日或更高頻交易的短期交易者，每周進(jìn)行倉位調(diào)整的中期投資者和投資周期高達(dá)一至數(shù)月的長期投資者。所以，RV定義如下：

ln（RVt）=ω+1ln（RVt-1）+2ln（RVt-5，5）+3ln（RVt-22，22）+υt（5）

其中RVt-1、RVt-5、RVt-22分別為衡量短期（日）、中期（周）和長期（月）的波動，其計算如下：

ln（RVt-h，h）≡1hh-1i=0n（RVt-h+i）ln（RVt-1，1）≡ln（RVt-1）（6）

53σt 和 RVt之間的關(guān)系

文獻(xiàn)中有兩種方法將RV與收益率方差聯(lián)系起來：一是假設(shè)日收益率的有條件方差等于日RV的有條件期望；二是假設(shè)收益率方差和RV等同。Forsberg和Bollerslev（2002）、Bollerslev et al（2009）和John et al（2011）在相似的研究中使用了第二種方法，所以在本文我們也使用第二種假設(shè)。

54HAR-RV模型估計

基于以上假設(shè)，對HAR-RV模型進(jìn)行回歸，我們得到估計模型如下：

ln（RVt）=-006955+0282521ln（RVt-1）+028352ln（RVt-5，5）+037673ln（RVt-22，22）

上述模型將用于接下來的預(yù)測似然度計算。

6分布預(yù)測

61平均預(yù)測似然度

John和Thomas（2011）認(rèn)為在評價預(yù)測能力時多步預(yù)測更好，本文與John和Thomas（2011）的目的相同，所以仿照其多步預(yù)測的方法來評價兩個模型預(yù)測能力。對于樣本外觀測值t=τ+kmax，…，T-k，其平均預(yù)測似然度計算如下：

Dk=1T-τ-kmax+1T-kt=τ+kmax-klnfk（rt+k[JB）|]Φt，θ），k≥1（7）

其中fk（rt+k[JB）|]Φt，θ）是向前k期預(yù)測的概率分布，T是總樣本中觀測到的交易日個數(shù)，k是向前預(yù)測的時間跨度，樣本外數(shù)據(jù)從τ到T。在我們的樣本中，T=1945，τ=1219，kmax=60。Dk越大，模型預(yù)測的準(zhǔn)確性越好。

62向前k期預(yù)測的概率分布

我們使用以下公式計算向前k期預(yù)測的概率分布，

fk（rt+k[JB）|]Φt，θ）=∫f（rt+k[JB）|]μ，σ2t+k）p（σ2t+k[JB）|]Φt）dσ2t+k

≈1NNi=1f（rt+k[JB）|]μ，σ2（i）t+k）σ2（i）t+k～p（σ2t+k[JB）|]Φt）（8）

其中 f（rt+k[JB）|]μ，σ2（i）t+k）是基于t+k期的真實收益率，服從均值為μ，方差為σt+k2的正態(tài)分布。

63計算

首先，對于每一個模擬n次1步至60步向前預(yù)測，得到相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。對于每一個預(yù)測跨度，只保留[1279-k，1945-k]這部分，以保證所有預(yù)測都落入到這段區(qū)間。由于對每一個起點的每一個k步預(yù)測都有n次模擬，所以將t∈[1279-k，1945-k]中全部的f（rt+k[JB）|]μ，σ2（i）t+k）求取平均值，作為fk（rt+k[JB）|]Φt，θ），進(jìn)而再計算fk（rt+k[JB）|]Φt，θ）的平均值，其中t∈[1279-k，1945-k]。最后，根據(jù)式（8），可以計算出Dk。

7結(jié)論

圖1圖2為R語言模擬計算出來的Dk值，橫軸表示預(yù)測步數(shù)，縱軸表示每一步所對應(yīng)的平均預(yù)測似然度，分別顯示了模擬100次和1000次時，HAR-RV模型與EGARCH模型的預(yù)測能力對比。我們有以下發(fā)現(xiàn)。

模擬100次時，HAR模型的似然度在步數(shù)不大于30的情況下會比EGARCH大。當(dāng)模擬1000次時，相同的情況發(fā)生在預(yù)測步數(shù)不大于37時：

（1）對于短期預(yù)測，HAR模型能大幅提高預(yù)測效果，然而在預(yù)測中國的長期市場時并不有效。我們認(rèn)為，導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因在于中國市場受到很多非市場因素的影響，且這些因素會隨時間變化。HAR模型更多地依賴于歷史數(shù)據(jù)，非市場因素的變化會導(dǎo)致歷史數(shù)據(jù)“失效”。

（2）隨著模擬次數(shù)的增加，HAR的似然度降到EGARCH以下所需的步數(shù)會越來越大，所以我們推斷，如果能夠模擬無數(shù)次，HAR的預(yù)測能力會比本文所展現(xiàn)得更優(yōu)秀。

（3）圖1和圖2均顯示出HAR的平均預(yù)測似然度的期限結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)負(fù)斜率。

圖1模擬100次圖2模擬1000次

參考文獻(xiàn)：

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[2]Amisano，G，Giacomini，RComparing Density Forecasts via Weighted Likelihood Ratio Tests[J]Journal of Business and Economic Statistics，2007，25（2）：177-190

[3]Bollerslev，T，Kretschmer，U，Pigorsch，C，Tauchen，GA Discrete-time Model for Daily S&P500 Returns and Realized Variations：Jumps and Leverage EffectsJournal of Econometrics，2009，150（2）：151-166