我國城鄉收入差距的統計建模
——基于各省縱向數據的MERS模型的實證分析

吳士寶， 鄭 列， 羅幼喜

(湖北工業大學理學院， 湖北 武漢 430068)

我國城鄉收入差距的統計建模
——基于各省縱向數據的MERS模型的實證分析

吳士寶， 鄭 列， 羅幼喜

(湖北工業大學理學院， 湖北 武漢 430068)

使用回歸樣條線混合效應(MERS)模型，基于各省份的縱向數據，對城鄉收入差距與經濟增長的關系進行統計建模，證實無論是全國還是各省份城鄉收入比與對數人均GDP均存在庫茲涅茨曲線的倒U關系。對各省份樣本的庫茲涅茨曲線的拐點處的人均GDP以及到達拐點的時間的分析表明，我國各省在2010年以后均進入了庫茲涅茨曲線的下降區域，城鄉收入差距有望進一步縮小。

城鄉收入差距； 回歸樣條線混合效應； 庫茲涅茨曲線

進入21世紀以來，我國經濟發展迅速，同時，收入差距(包括城鄉收入差距，區域間收入差距以及社會各階層的收入差距)也發生了較大變化，由一個收入較均衡的國家轉變為一個城鄉間、區域間、各階層收入差距較大的國家[1]。城鄉收入差距是衡量收入差距的一個重要指標。城鄉收入差距問題已經成為各省乃至全國不可忽視的社會問題[2]，這一問題是否能夠得以解決關乎社會能否和諧發展、共同富裕的目標能否得以實現。

經濟學家庫茲涅茨[3]在20世紀50年代中期，通過對歐美發達國家的經濟發展資料的研究，提出了“庫茲涅茨曲線”假說，認為收入不平等與經濟發展之間存在著倒U型關系，即隨著經濟的增長，收入差距會先經歷一個迅速擴大，然后短暫的穩定，最后逐漸縮小的過程。這一假說無論在理論上還是在實證分析上，都引起了激烈的爭論[4]。

本文選取了2002-2012年全國31個省、自治區、直轄市的縱向數據，對我國城鄉收入差異的庫茲涅茨曲線進行基于MERS(回歸樣條線混合效應模型)模型的統計建模。MERS模型是非參數混合效應模型的一種.它克服了使用參數模型所受的模型設定的限制，如：對城鄉收入差距與經濟增長關系的研究，若采用參數模型，則必然假定其具體函數形式，現有研究多采用二次多項式形式，這樣一來，擬合曲線只可能是U型或者倒U型，即使實際曲線并非如此。非參數模型則可克服這種限制，通過平滑參數的選擇，還原其曲線的真實面目。

1 數據來源及處理

本文所用的數據來自國家統計局網站。由于2013年以后城鄉人均收入統計方法發生改變，造成數據缺失的問題，本文選取的數據為2002-2012年各省、自治區、直轄市的縱向數據。響應變量為城鎮居民人均可支配收入與農村居民人均純收入的比值Rur，預測變量為人均GDP的對數ln GDP。

2 研究方法

MERS模型是非參數混合效應模型的一種，以Rur為響應變量，ln GDP為預測變量的典型非參數模型混合效應模型記作以下形式[5]：

(1)

這里η(ln GDP)為縱向數據的平滑均值函數，也叫做固定效應函數；viln(GDP)刻畫了個體函數對總體均值函數的偏離，叫做隨機效應函數。εij是不能為模型所解釋的測量誤差函數。

在MERS模型中，常使用含有K個結點(τ1，τ2，…,τK)的k階截斷多項式基Φp(ln GDP)為η(ln GDP)構建估計值，使用含有Kv個結點(δ1，δ2，…,δKv)的kv階截斷多項式基Ψq(ln GDP)為vi(ln GDP)構建估計值。則可用下式表示回歸樣條線：

(2)

這里

β=[β0,β1,…,βk+K]T

bi=[bi0,bi1,…,bi(kv+Kv)]T,i=1,2,…,n

為系數向量。記

xij=Φp(ln GDPij),zij=Ψq(ln GDPij),

Xi=[xi1,…,xini]T,yi=[Ruri1,…,Rurini]T,

R=diag(R1,…,Rn),

則式(1)可以記為以下矩陣形式

y=Xβ+Zb+ε,

(3)

在D和R已知的情況下，通過加權最小二乘法可得以下估計量[6]：

(4)

這里

V=diag(V1,…,Vn),

若D和R未知，則可使用通過EM算法迭代得到的估計值代替D和R。

在所有結點處的η(ln GDP)擬合值可以記作：

這里

A=X(XTV-1X)-1XTV-1

而vi(ln GDP)在結點的擬合向量可以記作：

這里

3 模型應用

3.1 結點選擇與基函數個數的選擇

結點選擇采用等間距樣本分位數結點選擇方法[7](EquallySpacedSampleQuantilesasKnotsMethod)，原理如下：令ln GDP(1),ln GDP(2),…ln GDP(n)為結點的次序統計量。則其K個結點定義如下：

τr=ln GDP(1+[rn/(K+1)]),r=1,2,…,K,

這里[a]表示a的整數部分。

為了方便計算，本文采用最常用的做法，選取三次回歸樣條線，即k=3。p，q選擇應同時考慮兩個方面：擬合優度和模型的復雜性，本文的選擇標準為AIC，對于MERS模型，其定義如下：

AIC=-2Loglik+2[df+dfv]

df=tr(A),dfv=tr(Av)

通過R語言lme4程序包，嘗試不同的p，q組合，得出p=7，q=4時AIC最小，為-231.299。

3.2 構建總體均值函數及其估計值

使用R語言lme4程序包的lmer函數對式(3)求解，則可以得到η(ln GDP)的MERS估計值：

圖 1 Rur總體均值函數圖像

圖1可以看出，Rur總體均值函數呈現出倒U形態，與庫茲涅茨假說相吻合，城鄉收入差距最大時，即城鄉收入差距開始降低的人均GDP為15 142元。

3.3 構建各省、自治區、直轄市的個體函數的估計值

各省、自治區、直轄市的個體函數si(ln GDP)的估計值

利用R語言lme4程序包的predict函數對樣本進行估計，得到每個省、自治區、直轄市的城鄉收入差距Rur的個體函數，并估計個體城鄉收入差距達到極值點極值點的人均GDP，得到表1。

表1 各省份進入拐點的時間、拐點處的人均GDP

圖 2 隨機挑選的4個個體的個體擬合曲線

4 結論

本文通過研究31個省、自治區、直轄市的縱向數據，對我國城鄉收入差距進行基于MERS模型的非參數統計建模，實證分析表明我國的城鄉收入差距總體上支持庫茲涅茨曲線，各省、自治區、直轄市樣本的城鄉收入差距呈倒U曲線，從而支持了庫茲涅茨的假說。通過對樣本的分析可以發現，我國各省、自治區、直轄市的城鄉收入差距大致在2010年以后全部進入了倒U曲線的下降區域，表明我國的城鄉收入差距有望在今后一段時間，繼續逐步縮減。其中黑龍江省、西藏自治區、新疆維吾爾自治區在2002年以前就已經進入了倒U曲線的下降區域。通過分析樣本城鄉收入差距拐點，到達拐點的人均GDP，以及到達拐點的時間，發現農業比重較大的省、自治區、直轄市，到達拐點的人均GDP值越低，且越早到達拐點。

為進一步縮小城鄉收入差距，各省、自治區、直轄市應該從結構轉變入手，加快對農業部門的現代化改造，推進城鄉一體化，大力發展農村非農產業、鄉鎮企業，促進城鄉均衡發展。

[1] 王小魯，樊綱. 中國收入差距的走勢與影響因素分析[J].經濟研究，2005(10)：24-36.

[2] 劉榮添，葉民強.中國城鄉收入差異的庫茲涅茨曲線研究——基于各省份面板數據(1978-2004)的實證分析[J].經濟問題探索，2006(6)：9-13.

[3]KuznetsS.Economicgrowthandincomeinequality[J].AmericaEconomicReview,1955(1):1-28.

[4] 邵紅偉，靳濤.收人分配的庫茲涅茨倒U曲線——跨國橫截面和面板數據的再實證[J].中國工業經濟，2016(4)：22-38

[5]WuHulin,ZhangJin-Ting.Nonparametricregressionmethodsforlongitudinaldataanalysis[M].Wiley-Interscience,2005:130-136.

[6]EubankRL.Nonparametricregressionandsplinesmoothing[M].NewYork:MarcelDekker，1988:12-101.

[7]WoldS.Splinefunctionsindataanalysis[J].Technometrics,1974(16):1-11.

[責任編校： 張 眾]

Statistical Modeling of Urban and Rural Income Gap of China —An Empirical Research Based on MERS Model of Longitudinal Data

WU Shibao, ZHENG Lie, LUO Youxi

(SchoolofScience,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

The relationship of urban and rural income gap and economic growth of China and its provinces is modeled through using mixed effects regression splines(MERS) model,based on longitudinal data of China's provinces.It is verified that there exists a converse U curve relation,which Kuznets curve indicates,between urban and rural income ratio and the logarithm of GDP per capita.Then GDP per capita of each province at the inflection point of Kuznets curve,and the year when the sample reached the the inflection point are estimated.After the analysis of the samples,it is revealed that all provinces of China have entered the decreasing part of Kuznets curve, and consequently ,urban and rural income gap is expected to be narrowed in the next few years.

urban and rural income gap；MERS；Kuznets Curve

2017-02-17

國家人社部國家留學人員科技活動擇優資助項目(鄂人函「2013」277號)；國家自然科學基金(HBSkFM2014001)

吳士寶(1982-)， 男， 山東省泰安人，湖北工業大學理學院講師，碩士研究生，研究方向為縱向數據非參數回歸

鄭 列(1963-)，男，湖北英山人，湖北工業大學教授，研究方向為應用數學

1003-4684(2017)02-0114-04

F126.2

A