經歷過程把握本質
——一道工程問題教學的啟示

文︳曠生貴

經歷過程把握本質
——一道工程問題教學的啟示

文︳曠生貴

【教學片段】

師出示例題：修一條道路，如果甲隊單獨修，12天能修完。如果乙隊單獨修，18天才能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？

學生閱讀題目，弄清楚單獨修、合修的意思，找出題目給出的條件及要求的問題后獨立解答。有學生提出：“要求兩隊合修的工作時間，要知道兩隊合修的工作總量和兩隊工作效率之和。可是題目中并沒有告訴我們兩隊合修的工作總量是多少。是不是少了一個條件呢？”

師：題目中沒有告訴這條道路的長度，我們該怎么辦呢？

生：可以假設這條道路的長度。

師：那就先假設這條道路的長度，并根據你們假設的長度求出兩隊合修多少天能完成。（提示：為了計算的方便，建議道路的長度取整千米數）

學生獨立思考后，教師組織學生交流。

生1：我假設道路的長度是18千米，那么：18÷（18÷12＋18÷18）=7.2（天）。

生2：我假設道路的長度是30千米，那么：30÷（30÷12＋30÷18）=7.2（天）。

生3：我假設道路的長度是36千米，那么：36÷（36÷12＋36÷18）=7.2（天）。

生4：我假設道路的長度是1千米，那么：1÷（1÷12＋1÷18）=7.2（天）。

師（對生4）：請你說說每步計算的含義。

生4：1是假設這條道路長1千米，1÷12是甲隊的工作效率，1÷18是乙隊的工作效率，7.2天是兩隊合修的時間。（板書：總長度÷（甲隊的工作效率＋乙隊的工作效率）=合修的時間）

師：仔細比較上述4位同學的算法，你們有什么想說的嗎？

生5：他們都是用“總長度÷（甲隊的工作效率＋乙隊的工作效率）=合修的時間”。

生6：他們假設的這條道路的總長度是不同的，為什么兩隊合修的時間相同？

師：是啊！為什么會這樣呢？總天數和總路長有關系嗎？為什么總路長改變，得到的天數卻是不變的？這個問題中什么東西是不變的？請同學們小組交流討論。

生7：因為工作總量擴大了，工作效率也在擴大，而且擴大的倍數相同，所以時間不變。

生8：無論道路多長，甲隊和乙隊每天修的分別占總長的幾分之一沒有變。

師：你們同意生8的說法嗎？

生：……

師：（小結）因為兩個隊單獨修完這條路所用的時間沒變，如果工作總量改變，那么每個隊單位時間內完成的工作量也就變了。但是單位時間內所完成的工作量占總工作量的分率（兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一）沒有變化。如果沒有具體道路的長度，這道題還能解答嗎？

生：可以把這條道路的總長度看作單位1，題目要求多少天完成任務，實際上就是求工作總量1中含有多少個單位時間內所占總量的分率。

我的思考

數學教學需要讓學生經歷探究、思考、抽象、預測、推理、反思等過程，逐步達到對數學知識的意會、感悟，并積累分析和解決問題的基本活動經驗。這些基本活動經驗是教師沒有辦法教給學生的，必須由學生通過大量的數學活動逐步獲得。上述教學片段中，當學生說“可以假設這條道路的長度”后，教師順著學生的想法，讓學生利用自己假設的數據嘗試解決問題。學生通過假設與計算，發現總路長不同，算出的天數都是相同的。接著教師引導學生思考：“總天數和總路長有關系嗎？為什么總路長改變，得到的天數卻是不變的？這個問題中什么東西是不變的？”學生通過交流討論，發現兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的。因此，很自然地想到可以把道路長度假設成1。學生經歷了從具體數量逐步抽象的過程，對提高問題解決的能力至關重要。教學中，教師把重點放在探究假設法的過程中，組織學生進行觀察、比較、獨立思考、交流討論，找出隱藏其后的數量關系。特別是通過“假設數據不同，得到結果相同”的討論，拓寬了學生對工程問題的理解，找到這一問題背后的數學模型。這樣的教學既讓學生掌握了解題思路和解題方法，又讓學生弄清了假設不同的數據得出相同結果的原因，更鍛煉了學生的抽象、歸納、概括能力。

（作者單位：攸縣教育局）