“雞兔同籠”教學紀實與反思

馮鏡

教學內容：人教版小學數學四年級下冊。

教學目標：

1.了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。

2.嘗試用列表、假設的方法及列方程的方法解決“雞兔同籠”問題，使學生體會同一問題可以用不同策略去解決。

3.在解決問題的過程中，培養學生的遷移思維能力。

教學重點：理解掌握解決問題的不同思路和方法。

教學難點：學會用不同的方法解決實際生活中有關“雞兔同籠”的問題。

教學流程：

課前小故事熱身：

師：這個故事的主人公是雞和兔。有一天雞和兔子被關在同一個籠子里了，有3只雞，2只兔子。請同學們幫著算一算，一共有多少只腳呀？

生：14只。

師：雞和兔子在一起的時候，兔子發現雞走路很有意思，它用兩只腳走路，它就想學學雞走路，也用兩只腳走路，實際上兔子有幾只腳？

生： 4只。

師：它怎么學才能像雞呀？這樣兔子就有幾只腳了？

生：2只。

師：兔子班長發令了，所有的小兔子全體起立，這時候兔子的腳就可以看成幾只了？

生：2只。

師：雞有幾只腳？

生：2只。

師：這時我們就可以把籠子中的動物全看成……

生：雞。

師：現在籠中地上有多少只腳呀？

生：10只。

師：與實際相比腳的只數發生了什么變化？

生：少了。

師：少了多少？

生：4只。

師：少的4只腳其實是誰的呀？

生：兔子的，因為有2只小兔學雞。

師：如果5只兔子學雞，地上少多少只腳呀？

生：10只。

師：為什么？

師：地上如果少了14只腳？想想有多少只兔子學雞呢？

生： 7只。

師：雞也發現了兔子走路特別有意思，它是用4只腳走路，雞也想學兔子走路，它怎么學的呢？把兩只翅膀撲在地上。這樣它就有幾只腳了？

生：4只。

師：這時候我們可以把籠中的動物全看成誰？

生：兔子。

師：地上有多少只腳呢？

生：20只。

師：與原來的腳相比發生了什么變化？

生：多了6只。

師：為什么多了6只？

生：因為有3只雞學兔子，一只雞多2只腳，3只雞就多6只腳。

師：現在有6只雞學兔子走路，想想地上腳會怎樣？

生：多12只。

師：如果地上多18只腳，有多少只雞學兔子呢？

生：9只 。

師：怎么樣，雞和兔子挺有意思吧？今天學習的這節課也和雞兔有關，我們一起去看看吧。

一、導入

師：今天這節課，老師給同學們帶來的就是一道與雞兔有關的，我國古代非常有名的數學趣題。我們來聽一聽。（放錄音。）

師：雉是什么呀？你能用自己的話來說說這道題是什么意思嗎？

師：像這樣的題我們稱之為——（雞兔同籠。）這節課我們就一起來研究一下雞兔同籠的問題。（板書課題。）

師：雞兔同籠問題最早記載于《孫子算經》一書中，距今已有1500多年的歷史了。（出示主題圖。）

師：讓我們一起來看看，被關在同一個籠子里的雞和兔帶來了哪些數學信息。為了研究方便，我們可以把《孫子算經》原題中數目改小一點。從簡單問題入手，化繁為簡。（出示例1：8個頭，26只腳。）

師：誰來說說你獲得的數學信息？

師：他們提到的都是題中給的表面的數學信息，和生活常識聯系在一起，你還能說出哪些信息呢？

【設計意圖：這一引入，給數學課堂帶來了濃厚的文化氣息，讓學生感受到我國數學文化的源遠流長，激發了學生的學習熱情。】

二、猜想驗證

師：在解決這個問題之前，我們先來猜猜，籠子中可能會有幾只雞幾只兔呢？

師：你是根據什么猜測的呢？有8個頭說明——雞和兔一共有8只。

師：還有哪些可能呢？

師：籠中究竟有多少只雞，多少只兔呢？同學們在小組里交流自己想法的時候，可以利用學案中的表格填一填，也可以用剛才故事中講到的方法假設一下，還可以想象其他的方法，邊交流邊記錄在你的學案上吧。

三、匯報

（一）列表法

①按書中一定順序排列找到了答案。

②順序相反的列表法。

③找到答案后面省略不寫的列表法。

④按照規律找到答案的列表法。

【設計意圖：簡單入手、化難為易發現規律，運用知識遷移，拓寬學生思路，留給學生思考的空間，在解決問題的過程中發現表格的用處，及在表格中發現規律，為構建新知奠定基礎。】

師：這么多同學運用了列表法解決問題。（板書：列表法）有的同學按照一定的順序排列尋找答案，有的同學是發現了規律推理出了答案。大家想一想，當籠中的雞和兔有很多很多的時候，我們再用列表法方便嗎？

生：不方便。

師：為什么？

生：數據多，寫的表格會很長很長。

【設計意圖：目的是使學生在發現問題、解決問題的學習過程中明確因題而異選擇方法，認識到列表法也有一定的弊端。】

（二）探求其他方法

1.假設法。

師：是怎么假設的？

（學生匯報。）

師：同學們，他是把所有的動物假設成是雞，看看他是怎么想的，我們來認真聽。（口頭檢驗。）

…………

師：（借助課件梳理。）當我們假設全是雞的時候，就會先求出兔的只數。為什么？因為差的腳數是兔子的。

師：誰也采用了這種方法？哪位同學能結合老師的板書到前面來講一講假設全是雞的情況。

（再匯報一次，講清過程。）

師：既然可以假設全都是雞，也可以假設全都是兔，如果假設全都是兔，我們就會先求出……

師：誰愿意來匯報這種情況？多的這6只腳，多在誰身上了？

…………

師：同學們真了不起，在解決雞兔同籠問題時，想到了列表法，還想到了假設法。這也是解答雞兔同籠問題的一種基本方法。

【設計意圖：在問題情境中探究解決問題的方法，給學生足夠的空間經歷數學知識的形成過程，體驗猜測—探究—驗證的過程，從而得到解決雞兔同籠問題的一般方法：假設法。】

師：除了這兩種方法，你們還想到了什么方法解決這個問題？

師：這個算式怎么回事呀？講之前你能給你的方法起個名字嗎？（板書。）光從名字中我就覺得挺有意思。我們大家來認真聽聽。

2.抬腳法。

師：老師看到很多同學的眼神都很迷茫，是不是沒聽明白呀。如果有同學能配合他的講解演一演，這樣大家一看就懂了。

（生演一演。）

（出示課件：我們古人解決雞兔同籠的方法和這名同學是一樣的。他們用這樣的圖示法表示。）

小結：我們一起來回顧一下，在解決雞兔同籠問題時，都用到了哪些方法？（列表法，假設法、抬腳法。）

四、練習鞏固

師：接下來，我們來看看《孫子算經》中的原題，誰來讀一讀？

師：老師想問問你們想用什么方法來解決？

師：這么多同學都想用假設法，我們來個競賽PK一下吧。男生選擇假設全是雞的方法，女生選擇假設全是兔的方法。好嗎？

五、延伸應用

師：雞兔同籠問題傳到日本時就變成了“龜鶴同池”，你認為“龜鶴同池”與“雞兔同籠”問題有什么相似之處？說說思路。

師：我們來個小挑戰，誰能口述出你的解題思路呢？現在就把你的思路說給你同桌聽聽。

師：有誰用的是假設法？

師：有沒有人敢于挑戰抬腳法的呀？試著說說你怎么做的。

師：只要能用這些方法來解答的問題都可以統一叫做“雞兔同籠”問題。

【設計意圖：學數學用數學，引領學生抓住數學的本質，學習雞兔同籠問題并非單純局限于雞和兔，只要用這種方法解決的都可以稱之為雞兔同籠問題。】

師：老師帶來了幾道題，同學們選擇一道自己喜歡的題，說一說它與我們今天學的知識有什么聯系。

師：有興趣的同學可以課下嘗試做一做。最后老師也送給同學們一首詩來結束這節課。我們一齊來讀一讀吧。

反思：

“雞兔同籠 ”是四年級數學下冊“數學廣角”的內容。在這節課當中，我借助教材上的列表法同時結合學生假設的方法，再配合抬腳法，讓學生弄懂雞兔同籠問題的基本解題思路。本節課的重點放在了“嘗試探究”這一部分，使學生充分感受數學的思維過程，培養學生的邏輯推理能力。通過列表過程，充分調動了學生的積極性，讓他們經歷了一個探索的過程，之后再介紹假設法就水到渠成了。這也實現了運用多種方法解決問題的目的，起到了意想不到的效果。應用練習是一個提升的過程，讓學生回顧研究雞兔同籠問題的解決方法的過程，選擇合適的方法來解決新的問題，在匯報時讓學生說說理由。用哪種方法合適？為什么？這樣使學生解決問題的能力得以進一步的提升。課堂教學后，我進行了以下反思：

1.注重思維能力的培養和數學思想的滲透。

讓學生在參與觀察、猜想、驗證、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力。用數學語言清晰地表達自己的想法是培養學生思維能力的重要途徑。從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗證到表格中數據變化規律的發現，從列表法很快自然聯想到假設法，學生的思維經歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創新、從膚淺到深刻等方面的巨大變化，學生的思維能力也隨之得到了極大的提升。

我有意識地向學生滲透數學思想和方法。如：用容易探究的小數量替代《孫子算經》原題中的大數量的“替換法”解決問題，滲透了轉化的思想和方法；用“列表法”“抬腳法”等解決問題，滲透了假設的思想和方法。這些對于學生而言，無疑奠定了可持續發展的堅實基礎。

2.注重數學文化的傳承。

雞兔同籠問題是《孫子算經》中一道影響較大的名題，一直流傳至日本等國，引起了許多國家的眾多數學愛好者的廣泛關注。教學中，教師把“數學文化”和《孫子算經》中關于雞兔同籠問題的原題，用課件科學而生動地再現于課堂，極大地激發和調動了學生的探究興趣，充分地傳承和弘揚了經典的數學文化，較好地體現和提升了課堂的教學品位，也讓“數學味”貫穿課堂始終。

3.讓不同的學生學不同的數學。

由于學生原有認知水平不同，存在較大的差異，所以在同樣的列表中，學生的認知水平也有一定的層次區別。但在教學的過程中，我并沒有提出統一的要求，允許不同的學生采用不同的解題方法。在交流時，有些學生用逐一列表的方法，我也肯定了他們的方法有序且不遺漏。再引導學生從上往下看、從下往上看、從左往右看發現規律，體會雞兔只數變化之間的置換關系。等待學生充分掌握規律，已經躍躍欲試了，我再指引學生運用自己發現的變化規律在表格中調整驗證過程，進行二次調整，快一點找到答案。學生不但可以應用跳躍列表法、取中列表法來調整過程，而且部分學生已能把跳躍和取中的方法結合起來列表解決問題。最后我引導學生對解題技巧進行歸納與總結：做任何題目的時候，都要先認真思考、分析，根據題目的條件，選擇適當的方法，找到解決問題的小竅門。這樣學生在具體的解決問題過程中，根據自己的經驗，逐步探索不同的方法，找到解決問題的策略；在合作交流學習的過程中，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法。這也體現了不同的學生在同一節課中有不同程度的提高，不同的學生學不同的數學。

4.注意捕捉并利用課堂生成的新資源。

這是我教學這一課之前感到有困難，教學時做得不夠到位的地方。比如：學生猜出雞兔各幾只后，有個別學生就開始用口算進行驗證。此時，教師的引導讓學生感覺需要列表的必要性不夠。總的來說，教學有效性更注重把所學的數學知識應用到生活中去，用數學的眼光看待身邊的事物，體會數學的價值。這堂課研究的方法多，容量大，有的地方只是蜻蜓點水，部分學生理解上還有點問題，我將在練習課中進一步完善。

（作者單位：哈爾濱市南崗小學）

編輯/魏繼軍