無葉擴壓器中非定常流動的DMD模態分析

丁 杰, 胡晨星, 劉鵬寅, 竺曉程, 杜朝輝

(上海交通大學 機械與動力工程學院，工程熱物理研究所，上海 200240)

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無葉擴壓器中非定常流動的DMD模態分析

丁 杰, 胡晨星, 劉鵬寅, 竺曉程, 杜朝輝

(上海交通大學 機械與動力工程學院，工程熱物理研究所，上海 200240)

采用動力模態分解(DMD)對離心壓氣機無葉擴壓器內的復雜流場進行分析，選取1.8 kg/s設計工況和1.4 kg/s非穩定工況下的非定常數值計算結果為基礎數據，得到這2種工況下10%葉高平面上切向速度、徑向速度的模態云圖以及特征頻率，評估了DMD方法分析離心壓氣機非定常流動特征的能力.對不同特征頻率下的流場進行重構，直觀深入地再現了無葉擴壓器內部非定常流動的變化過程.結果表明：在小質量流量下，葉片掃描頻率的影響效果雖然仍占據主導，但受到抑制；捕捉到失穩頻率約為193 Hz，失穩模態在擴壓器內沿周向占據3個固定的位置交替波動，不穩定波動沿擴壓器周向并不存在旋轉.

離心壓氣機； 無葉擴壓器； 非定常流動； 動力模態分解

壓氣機的工作范圍在大流量下受流道堵塞的限制，在小流量下則受到失速和喘振[1]等非穩定流動的限制.一旦旋轉失速出現，葉片所承受的長時間振動應力將導致壓氣機轉子葉片壽命降低.而發生喘振時，葉片和機匣都承受很大的瞬時力作用，會導致嚴重的破壞[2].因此，失速和喘振一直是阻礙壓氣機優化設計的重要因素，有必要對其產生和發展過程的流動機制進行全面深入的研究[3-5].

相關專家學者已經對離心壓氣機內的失速和喘振現象展開了大量的實驗研究，Frigne等[6]實驗研究了帶無葉擴壓器的離心壓氣機內擴壓器和離心葉輪的失速流動.Lawless[7]提出了失速先兆的檢測和判斷方法，通過實驗分析了離心壓氣機內部旋轉失速和喘振的初始狀態特征.Hunziker等[8]觀察到了離心壓氣機的誘導失速、輕度失速、深度失速以及不同有葉擴壓器下的失速流動.

近年來，數值模擬技術開始應用到離心壓氣機失穩現象的研究上，并取得了一定成果.常用數值計算方法是給定出口的背壓或流量[9-12]來獲得不同流量下的流動數據.而通過提高背壓來獲得小流量下的流場會存在計算發散的問題，一般采用節流閥模型來解決該問題[13].Guo等[14-15]假定在蝸殼后存在氣腔和節流閥，推導得到出口條件表達形式，再對不同流量下的流場進行了詳細的分析.Zhu等[16]采用幾何節流閥技術對離心壓氣機進行整體的三維N-S計算，獲得了從堵塞到失速工況的流動特征.劉海清等[17]比較了設計點與近失速點下無葉擴壓器內部的流動特征.

動力模態分解(DMD)是一種近年來應用較為廣泛的模態分解方法，適用于從復雜流場中分解出大尺度的流動結構.Schmid等[18-19]給出了DMD的詳細理論推導.Seena等[20]通過DMD分析了紊亂腔流中的自持振蕩.Dunne等[21]采用DMD方法分析了一個低階的動態失速模型，獲得了動態失速分離的主要模態.Liu等[22]采用DMD處理了有限鈍板周圍的流動分離，直觀地分析了分離流動的非定常特征.

筆者基于離心壓氣機的非定常數值計算結果，采用DMD對離心壓氣機無葉擴壓器內的復雜流場進行分析，選取1.8 kg/s設計工況和1.4 kg/s非穩定工況下的非定常數值計算結果為基礎數據，得到這2種工況下10%葉高平面上切向速度、徑向速度的模態云圖以及特征頻率，評估DMD方法在分析離心壓氣機非定常流動特征的能力.同時，對不同特征頻率下的流場進行重構，直觀深入地再現了無葉擴壓器內部非定常流動的變化過程.

1 數值模擬

研究對象為離心壓氣機模型GT70.該模型由離心葉輪(包括進口管道)、無葉擴壓器、蝸殼以及排氣管組成.葉輪葉片分為6個大葉片和6個小葉片.進口邊界給定總溫總壓，出口邊界給定靜壓，壁面為絕熱無滑移邊界.流動模型選取SSTk-ω模型.時間步長為1.131×10-5s，即一個大葉片流道設置20個時間步長.詳細的設定參數和計算步驟見文獻[16].

圖1給出了離心壓氣機不同質量流量下總壓比的CFD數值計算結果與實驗測量結果，圖中縱坐標總壓比為收縮管中間位置的總壓與壓氣機進口總壓的比值，其中1.8 kg/s為設計質量流量.由圖1可知，隨著質量流量的增大，總壓比逐漸下降達到了堵塞狀態；而隨著質量流量的減小，性能曲線在質量流量1.49 kg/s后開始下降，總壓比曲線斜率為正，可以認為流動出現失速.從圖1還可以看出，數值計算得到的總壓比值均略大于實驗測量結果，總體上可認為數值計算結果與實驗測量結果近似吻合.且圖1還給出了小質量流量下壓力和流量的波動范圍，定量反映了壓氣機在小質量流量下的性能波動特征.

圖1 數值計算結果與實驗測量結果的對比

在進行非定常計算時，對部件內的流動進行壓力或流量的監控，通過頻譜分析獲得非定常流動的特征頻率.圖2為無葉擴壓器和排氣管內布置的2個監控點P1和P2的位置示意圖.

圖2 監控點位置示意圖

圖3給出了質量流量為1.4 kg/s和1.8 kg/s時，無葉擴壓器內監控點P1處壓力波動的頻譜分析結果.由于在計算過程中葉輪轉速為44 198 r/min，則葉輪旋轉頻率為736.6 Hz.葉片數為12，故葉片通過頻率(Blade Passing Frequency, BPF)為8 839.6 Hz，大葉片通過頻率為4 419.8 Hz.

當質量流量為1.8 kg/s時，葉片通過頻率的幅值非常明顯，除此之外監控點再沒有出現其他明顯的離散頻率，說明此時的流動還處于比較穩定的狀態.而質量流量為1.4 kg/s時，監控點出現了一個離散的頻率229.84 Hz.該頻率值接近葉輪旋轉頻率的三分之一，根據Hoying等[23]的說法，模態失速頻率大約是葉輪旋轉頻率的1/4～1/2，可認為229.84 Hz是失速頻率.

(a) 設計工況1.8 kg/s

(b) 非穩定工況1.4 kg/s

2 動力模態分解

下面針對DMD方法最常用的Arnoldi算法進行簡單介紹[18-19].

假定有一組隨時間變化的數據矩陣：

(1)

式中：N為時間步總數；vi為第i時間步的數據組成的向量.

假定vi+1和vi之間存在一個線性的映射關系A：

vi+1=Avi

(2)

可以將原數據矩陣改寫成：

(3)

若將最后一個時間步的數據用前幾個時間步的數據進行線性組合，則：

(4)

將其寫成矩陣形式如下：

(5)

式中：aT=[a1a2…aN]；r為殘差向量.

按式(5)可以得到如下關系式：

(6)

其中矩陣S為如下形式：

(7)

如果不存在殘差向量r，則矩陣S的特征值將是矩陣A的特征值的一個子集.如果殘差向量r不為零向量，則矩陣S的特征值是矩陣A的特征值的近似.由于該矩陣是病態矩陣，在求解特征值時存在困難，因此一般進行以下轉換.

(8)

將式(6)代入式(8)中可以得到：

(9)

(10)

最終得到DMD模態如下：

Φi=Uyi

(11)

需要指出的是，各階DMD模態的范數表明了該模態的能量大小，而其相應的特征值就包含了該模態的頻率和增長率信息.

λi=ln(μi)/Δt

(12)

特征值的實部Re(λi)是DMD模態Φi的時間增長率，而特征值的虛部Im(λi)/2π是模態Φi的頻率，式中Δt是每個流場快照之間的時間步長.

3 結果與分析

在非定常計算中，作為DMD處理時的Δt設定為5個時間步長，即5.655×10-5s.一共選取了600個時間步長的原始流場數據，即120個原始流場快照，故DMD分解的最低分辨頻率大約為29 Hz.而頻譜分析選取了5 000個時間步長的數據進行處理，最低分辨頻率大約為17 Hz.

3.1 設計工況

圖4給出了1.8 kg/s質量流量下10%葉高平面非定常流場的DMD模態特征值.圖中以特征值實部為橫軸，虛部為縱軸，幾乎所有的主要特征值都分布在單位圓上.

圖5給出了DMD各階模態對應頻率及能量比(取對數后)的關系.從圖5可以看到能量比最高的前四階模態，其中第二、第三階模態的頻率為圖3(a)頻譜分析得到的葉片掃描頻率，可見DMD對于特征頻率具有良好的捕捉能力.

圖6給出了設計工況下前四階模態的切向速度和徑向速度云圖，本文所有云圖(模態和重構)均經過歸一化處理.從圖6可以看出，第一階零頻模態是平均流場，展現了原流場中占主導地位的流動結構.蝸舌的存在，影響了周向周期性的速度分布.無葉擴壓器切向流動基于角動量守恒，隨著半徑的增大，切向速度逐漸減小.第三階模態中在周向分別有12個周期變化的速度分布，對應12個葉輪葉片；第二階模態中在周向分別有了6個周期變化的速度分布，對應6個葉輪大葉片.這表明DMD捕捉到了上游葉輪葉片通過所造成的射流-尾流結構的影響.

圖4 設計工況下特征值的分布圖

圖5 設計工況下能量比的分布圖

圖6 設計工況下前四階模態切向速度和徑向速度云圖

3.2 非穩定工況

圖7給出了1.4 kg/s質量流量下10%葉高平面DMD模態的特征值.由圖7可知，幾乎所有的特征值均分布在單位圓上.

圖8給出了各階模態對應頻率及其能量比(取對數后)的關系.從圖8可以看出，除葉片掃描頻率外，第四階模態還捕捉到了低頻率的流動不穩定頻率.

圖9給出了非穩定工況下前四階模態的云圖及其對應的頻率值.由圖9可知，由于DMD和頻譜分析的最低分辨頻率分別約為29 Hz和17 Hz.第四階模態所獲得的頻率值為失速頻率.

圖9中第一階零頻模態仍是平均流場，與設計工況的對應模態類似，但周向不均勻性加?。坏诙A葉片通過頻率對應的模態和第三階大葉片通過頻率對應的模態中，由于內部非穩定流動的影響，葉輪的射流-尾流結構影響明顯弱化；第四階失速頻率對應的切向速度和徑向速度流動模態中，周向存在多個流動失穩區，將通過重構來直觀地觀察該流動區域的非定常變化.

圖7 非穩定工況下特征值的分布圖

圖8 非穩定工況下能量比的分布圖

圖9 非穩定工況下前四階模態切向速度和徑向速度云圖

3.3 流場重構

為了研究無葉擴壓器內部特定的流動結構，采用模態重構的方法得到該模態隨時間變化的過程，直觀地給出流動特征.

圖10給出了非穩定工況下某個時刻徑向速度原始流場與前四階頻率對應模態的重構云圖.由圖10可知，相似的流場分布說明DMD得到的前四階模態基本包含了原始流場的流動信息.

圖11給出了設計工況下一個葉片掃描周期內不同時刻徑向速度在葉片通過頻率對應模態(第二階模態)的重構云圖，由于采用頻率的限制，對應周期內只能重構2個時刻流場.前后不同時刻下射流-尾流結構始終占據主導地位，該結構周向轉過1/2流道，對應葉輪的旋轉掃描過程.

圖12給出了非穩定工況下第四階失速頻率對應周期內不同時刻下，徑向速度在葉片通過頻率對應模態的重構云圖.從圖12可以看出，周向存在3個明顯的非穩定流動區域，一個周期內經歷正負徑向速度一次交替變化過程.通過模態重構，直觀地給出了失穩流動的作用范圍，發現在絕對坐標下失穩流動是不旋轉的.

4 結 論

(1)采用CFD數值模擬的方法得到了離心壓氣機GT70在不同質量流量下的非定常流場數據，計算得到的離心壓氣機性能曲線與實驗測量結果基本吻合.

(2)通過DMD方法對設計工況下的非定常流場進行分析，證明在設計工況下，擴壓器內流場主要受到葉片掃描頻率的影響，并且呈現射流-尾流的交替結構.

(3)通過DMD方法對小質量流量下的非定常流場進行分析，發現在失穩工況下，葉片掃描頻率的影響效果雖然仍然占據主導，但受到抑制.同時，捕捉到失穩頻率約為193 Hz，失穩模態呈現為在擴壓器內沿周向占據3個固定的位置交替波動.

(4)將前四階頻率多模態重構、葉片掃描頻率和失速頻率單模態重構，證明了失穩模態沿擴壓器周向并不存在旋轉，而是以類似駐波的形式發展，并且其中一個失速團與蝸舌的位置相同.

DMD方法結合CFD非定常計算有助于直觀深入地認識離心壓氣機失穩工況的非定常流動問題，有助于對其流動機理的理解.

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Dynamic Mode Decomposition of the Unsteady Flow in a Vaneless Diffuser

DING Jie, HU Chenxing, LIU Pengyin, ZHU Xiaocheng, DU Zhaohui

(Institute of Engineering Thermophysics, School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

Taking the simulation results under design condition 1.8 kg/s and unsteady condition 1.4 kg/s as the basic data, an analysis was conducted on the complex flow field in the vaneless diffuser of a centrifugal compressor using dynamic mode decomposition (DMD), so as to obtain the contours of tangential and radial velocity modes at 10% span plane as well as the characteristic frequencies, and to evaluate the applicability of DMD method in analyzing the unsteady flow within the vaneless diffuser. In addition, flow field reconstruction was conducted at different characteristic frequencies to figure out the transformation of unsteady flow in the diffuser. Results show that at small mass flow rates, the predominant effect of blade passing frequency is suppressed; the eigen mode corresponding to stall does not rotate along the circumferential direction, where three stall cells can be observed, and the frequency of stall is about 193 Hz.

centrifugal compressor; vaneless diffuser; unsteady flow; dynamic mode decomposition

2016-08-10

2016-09-18

丁 杰(1991-)，男，浙江海鹽人，碩士研究生，主要從事葉輪機械方面的研究.電話(Tel．)：15801859823; E-mail:onze_vov@sjtu.edu.cn.

1674-7607(2017)06-0447-07

TK472

A

470.30