非局域引力模型的能量條件及其限制

吳亞波， 張 雪， 趙月月， 陳博海， 張 楠， 柴云天

(1.遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院， 遼寧 大連 116029；2.海軍大連艦艇學(xué)院 基礎(chǔ)部， 遼寧 大連 116018)

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非局域引力模型的能量條件及其限制

吳亞波1， 張 雪1， 趙月月2， 陳博海1， 張 楠1， 柴云天1

(1.遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院， 遼寧 大連 116029；2.海軍大連艦艇學(xué)院 基礎(chǔ)部， 遼寧 大連 116018)

深入探討一種修正引力理論，即由馬焦雷(M. Maggiore)和曼卡拉(M. Mancarella)提出的非局域引力模型，該理論模型是在愛因斯坦-希爾伯特作用量中加入了非局域修正項(xiàng)m2R□-2R.筆者詳細(xì)研究并導(dǎo)出了該非局域引力理論滿足的4種能量條件，即強(qiáng)能量條件，零能量條件，主能量條件和弱能量條件.為了揭示這些能量條件的物理意義，分別繪出了4種能量條件隨引力模型參數(shù)α和宇宙紅移z的演化圖像.進(jìn)一步，利用能量條件對(duì)模型參數(shù)α加以限制，給出了模型參數(shù)的取值范圍.

愛因斯坦-希爾伯特作用量；非局域引力；能量條件

天文觀測(cè)數(shù)據(jù)[1-3]表明宇宙目前正處在一個(gè)加速膨脹階段，解釋這個(gè)現(xiàn)象是現(xiàn)代宇宙學(xué)的一大難題.愛因斯坦場(chǎng)方程描述了時(shí)空幾何與物質(zhì)分布的內(nèi)在關(guān)系.解釋加速膨脹現(xiàn)象的理論方法一般分為修改愛因斯坦場(chǎng)方程的幾何部分或物質(zhì)部分.一方面，有理由相信驅(qū)動(dòng)宇宙的加速膨脹可能是暗能量，它是一種具有負(fù)壓強(qiáng)的額外組分且是當(dāng)前宇宙總能量的主要成分.雖然多年來各國(guó)學(xué)者從理論上提出了眾多暗能量模型，并對(duì)其進(jìn)行了廣泛研究[4-6].遺憾的是，暗能量的本質(zhì)屬性及其源問題始終困惑著人們，至今人們找不到任何已知粒子能夠滿足暗能量的性質(zhì).目前被廣泛接受的暗能量模型是宇宙學(xué)常數(shù)Λ[7]，即Λ冷暗物質(zhì)(ΛCDM)模型.另一方面，修正引力理論作為暗能量的替代者也極具吸引力[8-10].在眾多修正引力理論中，迪塞爾(S. Deser)和伍達(dá)德(R. P. Woodard)提出的非局域引力模型[11]是有競(jìng)爭(zhēng)力的候選者之一，該模型的構(gòu)建是在愛因斯坦-希爾伯特作用量中加入了非局域修正項(xiàng)f(□-1R).算符□-1是達(dá)朗貝爾算符□的逆，可以表示為延遲格林函數(shù)的卷積[12-13].這類模型最大的特點(diǎn)就是在輻射主導(dǎo)時(shí)期里奇標(biāo)量R為零，直到物質(zhì)主導(dǎo)時(shí)期后□-1R才開始以對(duì)數(shù)形式增長(zhǎng)[14-15].該理論不需要引入暗能量就能再現(xiàn)目前宇宙的加速膨脹，既能避免精調(diào)問題和鬼極問題，又能實(shí)現(xiàn)宇宙從輻射主導(dǎo)到物質(zhì)主導(dǎo)轉(zhuǎn)換的延遲效應(yīng).同時(shí)，在低能極限下又能退化為愛因斯坦引力.然而該模型的不足之處是與大尺度結(jié)構(gòu)觀測(cè)數(shù)據(jù)不符.最近，馬焦雷(M. Maggiore)和曼卡拉(M. Mancarella)提出一個(gè)新的非局域引力模型[16](下文簡(jiǎn)稱為M-M非局域引力模型)，該理論模型是在拉氏量中加入修正項(xiàng)m2□-2R，引入質(zhì)量標(biāo)度m，它的量綱為哈勃參數(shù)的今天值H0.非局域項(xiàng)是由單參數(shù)m控制，替代了ΛCDM宇宙模型中參數(shù)Λ，可以直接由觀測(cè)檢測(cè)，這個(gè)模型目前受到更多的關(guān)注[17-19].

能量條件[20]目前已廣泛應(yīng)用于各種修正引力理論，研究其對(duì)引力模型參數(shù)的限制[21-30].于是自然產(chǎn)生這樣的問題：(1)在非局域引力框架下，能否導(dǎo)出M-M模型的4種能量條件:強(qiáng)能量條件(SEC)，零能量條件(NEC)，主能量條件 (DEC)和弱能量條件(WEC).(2)利用這些能量條件能否給出對(duì)M-M非局域引力模型的限制條件，即能否給出模型參數(shù)的取值范圍.研究結(jié)果表明，不僅能導(dǎo)出該非局域引力模型的能量條件，而且利用SEC和NEC還能給出模型參數(shù)的限制范圍.文中計(jì)算采用的度規(guī)號(hào)差為+2，并令光速c=1.

1 M-M非局域引力模型的場(chǎng)方程

考慮M-M非局域引力模型的作用量[16]

(1)

式中，質(zhì)量標(biāo)度m的量綱為哈勃參數(shù)的今天值H0，這里取m=αH0,α是常數(shù)，稱它為模型參數(shù).協(xié)變標(biāo)量達(dá)朗貝爾算符定義為

(2)

通常由延遲格林函數(shù)可求解出非局域項(xiàng)□-1R，它們具有關(guān)系式[13,17]：

(3)

這里,G(x,x′) 是算符□-1作用在標(biāo)量上的格林函數(shù).將作用量(1)對(duì)度規(guī)gμ ν作變分，得到非局域引力場(chǎng)方程

(4)

其中，

Kμ ν=2(Gμ ν-2μν)(□-2R)+2gμ ν(□-1R)-gμ ν(□-1R)2+
μ(□-2R)ν(□-1R)+ν(□-2R)μ(□-1R)-gμ νρ(□-2R)ρ(□-1R)，

(5)

這里□=gμ νμν，物質(zhì)的能量-動(dòng)量張量Tμ ν為

(6)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]的局域化處理方法，定義如下輔助標(biāo)量場(chǎng)

U≡-□-1R，

(7)

S≡-□-1U=□-2R，

(8)

注意其初始條件都為0，于是修改的愛因斯坦場(chǎng)方程中的非局域項(xiàng)就改寫為局域形式

Kμ ν=2(Gμ ν-μν)S-2gμ νU-gμ νU2-(μSνU+νSμU) -gμ νρSρU.

(9)

實(shí)際上，在對(duì)式(7)和式(8)進(jìn)行數(shù)值積分的過程中，引入無量綱變量V=H0S和無量綱的哈勃參數(shù)h=H(t)/H0更為方便.于是，輔助標(biāo)量場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

U″+(3+ζ)U′=6(2+ζ)，

(10)

V″+(3+ζ)V′=h-2U，

(11)

其中,ζ=h′/h，撇表示對(duì)時(shí)間坐標(biāo)x=lna求導(dǎo).根據(jù)方程(9)，其時(shí)間分量為

,

(12)

由此可得

,

(13)

和

(14)

其中,ΩM和ΩR分別是物質(zhì)和輻射的能量密度參數(shù).方程(10)和方程(11)提供了一組關(guān)于標(biāo)量場(chǎng)U和V的微分方程組，利用h2和ζ的表達(dá)式，方程組的解可以直接通過數(shù)值積分得到.

2 能量條件及其限制條件

考慮空間平坦的弗里德曼-羅伯森-沃克(FRW)宇宙背景，其時(shí)空度規(guī)為

ds2=-dt2+a2(t)dx2.

(15)

為討論方便，將非局域引力場(chǎng)方程(4)改寫為如下的有效引力場(chǎng)方程

(16)

其中，有效的能量-動(dòng)量張量為

(17)

進(jìn)一步，它的時(shí)間和空間分量分別對(duì)應(yīng)有效能量密度和有效壓強(qiáng)

(18)

(19)

SEC:ρeff+3peff≥0?

(20)

NEC:ρeff+peff≥0?

(21)

DEC:ρeff-peff≥0?

(22)

WEC:ρeff≥0?

(23)

進(jìn)一步，為了深入剖析能量條件的4個(gè)不等式，在圖1和圖2中筆者繪出了4個(gè)能量條件(即方程(20)～方程(23))隨模型參數(shù)α和紅移z的演化圖像.取ΩM=0.308，ΩR=0.001和wR=1/3[3].從圖1容易看出為了滿足強(qiáng)能量條件(SEC)和零能量條件(NEC)，模型參數(shù)的取值范圍受到限制，分別為|α|≤0.26和|α|≤0.53.然而，從圖2容易看出，無論模型參數(shù)α取何值，主能量條件(DEC)和弱能量條件(WEC)總被滿足，由此說明它們對(duì)模型參數(shù)α的取值沒有任何限制.

圖1 左圖：SEC (ρeff+3peff≥0)隨模型參數(shù)α和紅移z的演化；右圖：NEC(ρeff+peff≥0)隨模型參數(shù)α和紅移z的演化Fig.1 Left panel:the evolution of SEC (ρeff+3peff≥0) with model parameter α and redshift z；Right panel:the evolution of NEC (ρeff+peff≥0) with model parameter α and redshift z

圖2 左圖：DEC(ρeff-peff≥0)隨模型參數(shù)α和紅移z的演化；右圖：WEC(ρeff≥0)隨模型參數(shù)α和紅移z的演化Fig.2 Left panel:the evolution of DEC (ρeff-peff≥0) with model parameter α and redshift z；Right panel:the evolution of WEC (ρeff≥0) with model parameter α and redshift z

3 結(jié) 論

綜上所述，筆者不僅導(dǎo)出了M-M非局域引力模型的4種能量條件(強(qiáng)能量條件，零能量條件，主能量條件和弱能量條件)，而且通過作圖分析了4種能量條件隨模型參數(shù)α和紅移z的演化規(guī)律以及對(duì)模型參數(shù)α的限制條件.研究結(jié)果表明，雖然主能量條件和弱能量條件對(duì)M-M非局域引力模型沒有限制，即模型參數(shù)α可以任意取值，但強(qiáng)能量條件和零能量條件限制模型參數(shù)α的取值范圍為|α|≤0.26.

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Energy conditions and constraints on the non-local gravity model

WUYabo1,ZHANGXue1,ZHAOYueyue2,CHENBohai1,ZHANGNan1,CHAIYuntian1

(1.School of Physics and Electronic Technology, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China; 2.Department of Basic, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China)

In this paper，the authors explored a class of modified gravity model,namely,the so-called non-local gravity model proposed by M.Maggiore and M.Mancarella,which is obtained by adding a termm2R□-2Rto the Einstein-Hilbert action.The four energy conditions of the non-local gravity model,i.e.,the strong energy condition,the null energy condition,the dominant energy condition and the weak energy condition are studied and derived in detail.In order to get some insights on the meaning of the energy conditions,the evolutions of four energy conditions with the model parameterαand redshiftzare illustrated,and the constraints on the model parameterαare given by using these energy conditions.

Einstein-Hilbert action;non-local gravity;energy conditions

2017-03-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11175077;11575075;11547156);遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(L20168366)

吳亞波(1961-),女，遼寧遼陽人，遼寧師范大學(xué)教授，博士，博士生導(dǎo)師.E-mail:ybwu61@163.com

1000-1735(2017)02-0167-06

10.11679/lsxblk2017020167

O411

A