基于SV-POT模型的黃金市場的動態VaR預測

蘇理云，王 杰

(重慶理工大學 理學院，重慶 400054)

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基于SV-POT模型的黃金市場的動態VaR預測

蘇理云，王 杰

(重慶理工大學 理學院，重慶 400054)

針對黃金市場呈現的“尖峰厚尾”和波動持續性等特征，選用SV(stochastic volatility)模型來刻畫。將SV模型與基于POT(peak over threshold)模型的極值理論相結合，建立SV-POT的組合模型，預測該金融市場的動態VaR(value at risk)。最后，與GARCH-POT模型相比得出：基于隨機波動模型的SV-POT模型在一定程度上能更精確地預測動態VaR。

SV模型；極值理論；POT模型；VaR

2002年10月上海黃金交易所的成立使我國黃金市場逐步市場化，給更多的個人和機構投資者提供了一個良好的平臺。正常情況下，黃金是規避風險增加利益的較好選擇。而現實中，黃金也像其他金融投資品一樣面臨著虧損等風險。

黃金價格受多方面的因素影響，包括原油價格、利率水平等。除此之外，黃金價格還受到中央銀行增減黃金儲備、金融危機以及南非局勢等突發事件的影響[1]。因此，黃金市場的風險預測尤為重要。Jorion詳細介紹了VaR的概念和各種計算模型，將VaR定義為“在一定置信水平下，金融資產或投資組合在特定時間段內可能遭受的最大損失”，很好地將預期損失量與發生的可能性結合起來。但傳統的計量模型都將金融序列假設為正態分布，與實際金融市場的波動情況不符。因此，金融序列波動率的預測在風險測量中始終占據至關重要的地位。經典的GARCH類模型有較多的擴展類研究，被證明可以擬合金融市場的收益率[2-3]；而Taylor[4]提出的隨機波動(stochastic volatility，SV)模型將隱含波動率引入自回歸方程中，更靈活有效地刻畫了金融市場的波動性，且被證明更有助于刻畫金融市場的本質特征[5-8]。但由于SV模型精確似然函數較難得到，所以參數估計一直是個難題。近年來，隨著計算機技術的發展，Jacquier等[9]首次應用馬爾科夫鏈蒙特卡洛(markov chain monte carlo， MCMC)方法估計SV模型的參數。國內SV的學者如朱慧明[10]、蘇理云[11]進一步研究了基于Gibbs抽樣的MCMC方法，可以得到最佳的模型的參數估計結果。Francois[12]針對金融市場中的極端情況研究了極值理論，提出了壓力測試下的風險度量方法。隨著研究發現，我國的金融市場收益大多不服從獨立同方差假設，且往往是非正態分布。所以，考慮用條件異方差模型刻畫收益的動態變化，在此基礎上計算動態VaR值。國內研究最多的是用GARCH族模型和SV模型對VaR的度量[13]，卻很少將波動率模型與極值理論的組合模型相比較，關于SV模型與極值理論的組合模型的研究也較少。所以，本文將SV模型與極值理論相結合，建立SV-POT模型預測黃金市場的尾部風險，并與GARCH-POT模型做對比，為黃金市場的風險管理尋找較優的預測模型。

1 波動率模型的提出

1.1 SV-N模型

SV模型不僅含有隨機波動的因素，而且還考慮了方差的噪聲過程，并認為方差和噪聲都是不可觀測的隨機變量。SV-N模型的具體表達式如式(1)所示：

(1)

其中：at表示去均值后的第t期的對數收益率；ht表示at潛在的對數波動率；α和φ為常數，其中φ為持續性參數且|φ|<1，反映了當前波動對未來波動的影響；ηt代表了波動過程中其他外在擾動，獨立同分布于正態分布。εt和ηt互不相關，模型中待估參數有α，φ和ση。

1.2SV-T模型

當εt服從正態分布時，隨機變量仍會出現比正態分布較厚的尾部。針對這一現象，很多學者開始考慮拓展變量誤差項εt的分布，Liesenfeld和Jung提出了SV-t模型，能較準確地刻畫實際收益序列的波動性。

SV-t模型的具體形式如下所示：

(2)

式(2)中，εt服從標準化學生t分布，自由度為v，其分布的概率密度函數為

(3)

當自由度v<4時，其峰度不存在；當自由度v>4時，其峰度大于3；當自由度v趨于無窮大時，該分布退化為標準正態分布。待估參數有α，φ，ση和v。

對于SV模型的參數估計，本文選擇運用MCMC 方法。該方法的本質是加入待估參數的先驗信息，利用Gibbs抽樣方法得到收斂平穩的馬爾可夫鏈，密度函數記為π(x)，該分布即可看成參數的后驗分布。該方法的缺點是計算較為復雜，優點是問題維數的增加不會降低其收斂速度或者使其更復雜。

1.3 GARCH模型

經典的GARCH(p，q)模型具體表達式如下所示：

(4)

對于相對復雜的SV模型得到的分布函數來講，通過樣本分布函數的有限階矩可知曉其中數據含有的特征和基本信息。而在統計的研究分析中，認為樣本量的期望均值為一階矩，變量的方差為二階矩。由波動方程ht=α+φ(ht-1-α)+ηt可知：

(5)

(6)

2 基于SV-POT的動態VaR模型

(7)

分布中有2個未知參數，分別是形狀參數ξ和位置參數β，其中β>0，且當ξ>0時，x≥0；當ξ<0時，0≤x≤β/ξ。又因為F(u)=(N-Nu)/N，Nu表示樣本中超過閾值u的個數，N為樣本總數。估計形狀參數和位置參數的前提是確定閾值的大小。由于閾值的確定不是本文的重點，所以本文選用超額均值函數圖法。確定閾值后，用極大似然估計法可得形狀參數ξ和位置參數β的估計。根據VaR理論，在置信水平為p時，可推導出對數收益率的風險值為：

(8)

最后將SV模型與VaR方法結合，得到的SV-POT-VaR模型為：

3 黃金市場的實證研究

本文以上海黃金交易所AU99.99每日收盤價數據為樣本，選取2002年11月1日至2016年10月18日的共3 399個數據進行分析。數據來源于RESSET數據庫。令yt=100(lnpt-lnpt-1)，得到對數收益序列，其中pt為t時刻的價格指數。

由圖1可以看出：黃金價格基本呈現直線上升趨勢。因為隨著金融市場的開放和不穩定性，越來越多的人認識到黃金具有增值保值的功能，為了規避資產貶值等風險而選擇購買黃金，使黃金的價格持續走高。從2012年以后，由于美國經濟的恢復等因素，規避風險的資金流出較多，給黃金市場形成一定的壓力，價格漲跌起伏。

圖1 黃金價格波動

由于黃金價格的對數收益率可以很好地反映其波動情況，從圖2可看出黃金價格對數收益率呈現的異方差現象。在2013年4月，黃金價格突然暴跌，在金融界引起一場大的風波。類似于這種極端情況近年來比比皆是，因此黃金市場的風險度量備受關注。

圖2 對數收益序列{at}的時序

圖3是黃金對數收益序列的正態性檢驗，直線代表正態分布的分位數，散點代表黃金對數收益序列的分位數。散點相對于直線的偏離程度較大，所以黃金對數收益序列并不服從正態分布。

圖3 對數收益序列的Q-Q圖

表1是黃金對數收益序列的基本統計描述，其中偏度值為負，峰度值遠遠大于3，說明該序列具有“尖峰厚尾”特性，J-B統計量對應的P值為0，ADF檢驗在在5%水平下顯著，應拒絕原假設，即該序列為平穩的非正態分布。綜上描述，建立異方差模型，

運用極大參數估計方法，得到模型的參數估計，結果如表2所示。

表1 黃金對數收益率的統計特征

注：其中*表示在5%水平下顯著。

表2 基于不同分布的GARCH(1，1)模型的參數估計

由表3可知：F檢驗統計量和LM統計量的P值均大于0.05，因此可認為建立GARCH模型后的異方差已消除。GARCH模型能較好地刻畫該序列的波動性。得出GARCH模型的波動方程為：

GARCH-N模型：

GARCH-T模型：

由表2可以看出：基于學生t分布的AIC值比基于正態分布的AIC值小。因此，基于學生t分布的GARCH模型能較好地擬合該序列。

表3 標準化殘差后的ARCH-LM檢驗

SV模型的參數估計借助Winbugs軟件實現，Gibbs抽樣為30 000次，并舍棄前15 000個“燃燒期”。 因為在Markov鏈收斂前，各狀態的邊際分布還不能認為是平穩的，所以用后15 000個抽樣值為各參數估計的穩定分布抽樣。參數估計結果如表4所示。

表4 SV模型參數估計結果及統計檢驗

注：表中MC誤差為蒙特卡羅(Monte Carlo)誤差，與標準差相比越小，則參數估計越精確，其中mEn表示m×10n。

得到SV-N模型的波動方程：

ηt～i.i.dN(0,0.423 32)

SV-T模型的波動方程：

ηt～i.i.dN(0,0.166 02)

其中自由度為7.298。

得到黃金對數收益的波動模型后，將數據標準化可以得到獨立同分布的標準殘差序列，結合極值理論的POT模型預測VaR。通過超額函數法和極大似然估計法，分別得到閾值u和形狀參數和位置參數的估計值，結果如表5所示。

表5 基于SV-T模型的POT模型參數估計

基于各類波動模型的POT模型中，由于參數估計方法完全一樣，所以這里僅用SV-T模型為例分析。

圖4給出了標準殘差序列擬合GPD的診斷檢驗圖，分別為超出量分布圖(左上)、殘差散點圖(左下)、尾部分布圖(右上)以及殘差QQ圖(右下)。其左上圖表示超出量分布的GPD分布擬合狀況，左下圖表示對尾部分布的估計，兩圖中的實線均為參照線；對于右上圖而言，擬合曲線穿過散點密集區，而在右下圖中散點緊密圍繞直線分布，均反映出良好的擬合狀態。在得到波動方程和POT模型分布后，就可以得到動態VaR的預測模型。但預測結果難免會出現一些誤差，因此需要進行正確率檢驗。本文用2002年11月1日至2014年12月31日(共2 964個觀測值)，作樣本來估計模型的參數；用剩下的435個觀測值，用來對模型的評估檢驗。這里用Kupiec[18]提出的失敗率檢驗法。似然比統計量(LR)表示為：

(10)

其中：N表示失敗次數；T代表觀察總數；p=N/T表示失敗率，期望失敗率為p′。即將模型好壞的評估轉化為失敗率p是否顯著不同于期望失敗率p′。在原假設條件下，LR服從自由度為1的卡方分布。

從表6檢驗結果可以看出：GARCH-POT模型預測VaR的失敗次數較低，雖然遠遠低于可接受的失敗次數，但比較保守的風險預防會令投資者失去很多投資機會，因此并不合適。SV-T-POT模型與SV-N-POT模型相比，失敗次數均在接受區間內，因此效果更優。

圖4 標準殘差序列GPD的診斷檢驗圖

置信水平接受區間失敗次數GARCH-N-POTGARCH-T-POTSV-N-POTSV-T-POT95%14≤N≤3057152097.5%5≤N≤84610899%2≤N≤41354

圖4給出了95%置信水平下，兩種不同模型得到的動態VaR與實際對數收益序列的對比。將兩類能夠較好刻畫序列厚尾性的模型進行對比，GARCH-T-POT模型得到的動態VaR明顯低于SV-T-POT模型，表明SV-T-POT模型計算得到的VaR值能更準確地預測黃金市場的風險。

圖4 95%置信水平下不同模型的VaR對比

圖5展示了4種不同模型在95%置信水平下的動態VaR與對數收益序列的線性對比圖?？筛逦乜闯觯合鄬τ赟V類模型，GARCH模型預測的VaR過于保守，而SV-N-POT模型的擬合比SV-T-POT模型低估了VaR。

圖5 95%置信水平下不同分布的VaR對比

4 結論

本文旨在尋找能較精確預測VaR的模型，將不同分布的假設的波動率模型與極值理論相結合，并進行對比分析。結果得出：基于厚尾t分布的SV模型不僅能更好地擬合序列的波動特性，與極值理論相結合構成的SV-T-POT模型，在預測VaR方面優于其他模型。進一步拓展了金融風險度量領域的應用，為投資者提供了可靠的投資依據，避免更多的風險損失。

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(責任編輯 何杰玲)

VaR Forecasting for Gold Market Based on SV-POT Model

SU Li-yun, WANG Jie

(College of Science, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 400054, China)

The SV (Stochastic Volatility) model is used to depict the characteristics of the “fat tail” and volatility persistence in the gold market. Then combining the SV model with the extreme value theory based on POT (Peak Over) model, the combination model of SV-POT is established to predict the dynamic VaR of the financial market. Finally, compared with the GARCH-POT model, the SV-POT model based on stochastic volatility model can predict VaR (Value at Risk) more accurately in a certain extent.

SV model; extreme value theory; POT model; VaR

2016-12-25 基金項目：國家自然科學基金資助項目(11471060)；重慶市教育委員會人文社會科學研究一般項目(15SKG136)；重慶市教育科學規劃課題(2015-GX-072)；重慶理工大學高等教育教學改革研究項目(2014ZD03)；重慶理工大學研究生創新基金資助項目(YCX2015228)

蘇理云(1977—)，男，四川廣安人，博士，副教授，主要從事大數據分析與經濟統計研究，E-mail:suliyun@cqut.edu.cn；王杰(1992—)，女，河南新鄉人，碩士研究生，主要從事金融統計與數據分析研究。

蘇理云，王杰.基于SV-POT模型的黃金市場的動態VaR預測[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(5):162-168.

format：SU Li-yun, WANG Jie.VaR Forecasting for Gold Market Based on SV-POT Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):162-168.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.027

O21

A

1674-8425(2017)05-0162-07