均勻網絡上SIS傳染病模型幾種對逼近方法的比較

李 星，羅曉峰

(山西大學 a.復雜系統研究所； b.數學科學學院；c.計算機與信息技術學院，太原 030006)

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均勻網絡上SIS傳染病模型幾種對逼近方法的比較

李 星a,b，羅曉峰a,c

(山西大學 a.復雜系統研究所； b.數學科學學院；c.計算機與信息技術學院，太原 030006)

網絡傳染病模型的精度是評價模型優劣的標準，其中網絡對逼近傳染病模型的優劣取決于所選逼近方法的精度。借助SIS傳染病模型比較均勻網絡上染病鄰居數服從泊松分布、多項分布以及基于平均場思想的3種逼近方法的精度，發現在泊松分布下模型的誤差最小，即泊松分布下的逼近方法精度最高。

均勻網絡；對逼近；傳染病；基本再生數；隨機模擬

傳染性疾病一直影響著人類的生活，有的甚至威脅著人們的生命，如非典(SARS)、艾滋病(HIV)、埃博拉等，因此對傳染病傳播的研究顯得尤為重要[1]。由于在人群中進行疾病實驗具有不可行性，因此數學模型可作為強大的工具來模擬實際疾病在人群中的傳播機理，進而預測疾病的發展趨勢，做出預防和控制策略。所以，傳染病數學模型的精度成了能否精準預測疾病發展趨勢的關鍵[2-4]。另外，由于疾病在人群中傳播，人與人之間的接觸關系(人群結構)對疾病的傳播也起著至關重要的作用。隨著網絡科學的發展，研究者把人群映射到網絡上，通過網絡拓撲結構體現人群內部的結構，進而建立基于網絡的傳染病模型來研究疾病在人群中的傳播[5-8]。在網絡中，節點代表人群中的個體，節點之間的連邊代表人與人之間的接觸關系。網絡對逼近模型是網絡傳染病模型的一種，它以節點和邊作為變量建立傳染病動力學模型，進而研究疾病的傳播機理[9-10]。這類模型的精度取決于所選逼近方法的精度，因此本文主要借助均勻網絡(個體之間接觸關系的差異性不大)上的SIS傳染病模型比較了3種逼近方法(即染病個體數服從泊松分布、多項分布以及基于平均場理論)的精度。

1 均勻網絡模型

對于SIS對逼近傳染病模型,設個體總數為N且保持不變，即網絡節點總數不變，個體按狀態分為易感者S和染病者I，染病者恢復后變為易感者，一個染病者和一個易感者每次接觸傳染的概率為τ，染病者的恢復率為γ。對于[S]、[I]、[SI]、[SS]、[II]，利用主方程可得

式中：[A]表示狀態為A的總節點數；[AB]表示狀態為A和狀態為B的節點構成的所有二元組(對)數量；[ABC]表示狀態為A、狀態為B和狀態為C的節點構成的所有三元組數量。假設網絡的平均度為n1，顯然有如下保持量：

(1)

接下來通過不同的逼近方法封閉模型進行研究。

1.1 泊松分布下的SIS對逼近模型(P-PW)

(2)

1.2 多項分布下的SIS對逼近模型(B-PW)

(3)

1.3 平均場SIS對逼近模型(MF-PW)

Kiss等在文獻[11]中應用平均場的想法給出三元組的逼近公式：

可得到相應的平均場SIS對逼近傳染病模型(MF-PW)：

(4)

接下來利用無病平衡點的穩定性計算該模型的基本再生數。

令系統(4)的右邊3式為0，得到系統的無病平衡點Q0(N,0,n1N)。該系統在無病平衡點Q0處的Jacobian矩陣為

(5)

因此， Jacobian矩陣(5)的特征方程為|λE-J0|=0， 即

(6)

顯然，特征方程(6)有一個負實根-γ，當且僅當

的所有特征根有負實部時，無病平衡點Q0是局部漸近穩定的。由于h(λ)的判別式為

因此，不妨設h(λ)的特征根分別為λ1、λ2。由圓盤定理可知，兩特征根必須有負實部滿足以下條件：

(7)

下面將針對各模型及其基本再生數進行隨機和數值模擬對比，并進行誤差分析，進而比較3種逼近方法的精度。

2 模擬與誤差分析

這部分在ER隨機網絡(均勻網絡)[12]上通過3種模型(式(2)(3)和(4))進行數值與隨機模擬(100次求平均)比較3個模型的準確性。誤差分析結果表明模型(2)誤差最小，即染病鄰居服從泊松分布的逼近方法更合理。

首先，構造一個總節點數為N=5 000的度分布服從泊松分布pk=P(λ)的配置網絡，其中,λ=20。該網絡的總邊數為n1N=1.000 0×105，平均度n1=20.0。

圖1 在平均度為20、總節點數為5 000的ER隨機網絡下[SI]的時間序列

圖2 ER隨機網絡時誤差隨時間的變化情況

圖3 ER隨機網絡R0和隨τ，γ的變化情況

3 結束語

疾病在人群中的傳播不僅與疾病本身的傳播機理有關，且取決于人群個體的分布。網絡傳染病模型就是基于此，把人群的分布映射到網絡上，然后讓疾病在網絡上傳播。模型的高準確性是建模者所追求的，既有利于數學分析又能應用到實際疾病研究中。本文研究了均勻網絡考慮染病鄰居數服從泊松分布、多項分布以及基于平均場思想3種不同逼近方法的SIS模型，對模型求解，發現染病鄰居數服從泊松分布的逼近方法得到的疾病閾值略大于其他兩種。通過模擬與誤差分析，得到染病鄰居數服從泊松分布的逼近方法誤差最小。

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(責任編輯 陳 艷)

Comparison of Several Pair-Approximation Methods for SIS Epidemic Models in the Homogeneous Networks

LI Xinga,b, LUO Xiao-fenga,c

(a.Complex System Research Center; b.School of Mathematical Sciences; c.School of Computer & Information Technology, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

The accuracy of network-based epidemic models is a criterion of judging these models. Interestingly, judging the pair-approximation models in networks depends on the accuracy of approximation methods. Via SIS models, we compared the accuracy of three approximation methods in the homogeneous networks. The first is based on the number of infected neighborhoods of individuals following Poisson. The second is based the number of infected neighborhoods of individuals following multinomial distribution. The last one is based on the mean-field theory. Then we find the model under Poisson distribution with smallest errors, i.e. the accuracy of approximation methods under Poisson distribution is highest.

homogeneous network; pair-approximation; epidemic; basic reproduction number; stochastic simulation

2016-12-08 基金項目：國家自然科學基金青年科學基金資助項目(11501340)；山西省回國留學人員重點科研資助項目(2013-重點3)

李星(1990— )，女，碩士研究生，主要從事復雜網絡及其傳播，E-mail:lixing20469@gmail.com；羅曉峰(1987—)，男，博士研究生，主要從事網絡傳播動力學研究，E-mail:luo_xf1988@163.com。

李星,羅曉峰.均勻網絡上SIS傳染病模型幾種對逼近方法的比較[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(5):169-173.

format：LI Xing, LUO Xiao-feng.Comparison of Several Pair-Approximation Methods for SIS Epidemic Models in the Homogeneous Networks[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):169-173.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.028

O175

A

1674-8425(2017)05-0169-05