一題多思培養學生的創新能力

劉俊

摘要：數學之美存在于數學學習的各個環節，需用心體會。一題多思多解就是感受數學之美的一種途徑。筆者由一道向量題的探索，從幾何，代數，圖形等不同角度去探索，既能感受數學的殊途同歸之美，又能啟發學生不同思維，培養學生的創新能力。通過不同解法去探索一般規律滲透數學思想，讓學生在探索中學會創新！

關鍵詞：數學美；一題多思；創新能力

在中學數學學習中，我們能時時感受數學之美，數學中的數，形，法則，一題多思，通過探索去感受數學的規律之美，實在是一件美事！在最近的教學中，我發現一道向量題非常有意思，通過5種方法探索出一般規律，讓學生一起參與其中，分享心得，既感受了數學之美，又體現了數學學習的價值。現在和大家一起分享如下：

已知點為內一點，滿足，記的面積為，的面積為，且，則的值為（ ）

A、 B、 C、 D、

筆者經過思考后得出以下解法：

法一、如圖：設為中點，

（方法說明：用此法解決本題比較簡單，但不能解決每個小三角形和大三角形面積比，不具有通法效果。）

法二、如圖：設分別為中點，

原式=

三點共線且為中位線。

，，

（方法說明：雖然運算量比方法一大，但能解決每一個小三角形和大三角形的面積比，具有通法效果）

法三：（法向量法）設，

為的法向量，

則（*）。

，

代入（*）得

（方法說明：法向量法學生雖不易掌握，但可以開辟一條新思路，理解起來不算困難。）

法四：如圖，延長到點，使得；延長至點，使得。

以和鄰邊做平行四邊形，連接交于點，則，即

。所以，由相似三角形知，。

（方法說明：此法為通法，雖思路簡單但計算繁瑣，且如果計算三個小三角形和大三角形面積之比需計算三次，運算量大）

法五、特值法：

由已知得，為一個定值。既然對任意三角形都滿足，那么對特殊三角形也滿足。設為的等腰直角三角形，建立坐標系如圖：

則，設，則 。由得：

，易知

（方法說明：特值法是我們解決問題的一種快捷準確的方法，包括特殊值，特殊函數，特殊位置，特殊圖形等。本題用特殊圖形解決此問題很簡單，但仍然具有通法的效果！值得推薦！）

問題變式：已知點為內一點，滿足，

求（注意的關系）

由此對該問題進一步推廣，得出以下結論：

結論（1）：設點是所在平面內一點，分別是中點。若（其中），則在中位線上且；特別的若在內部，則，

。

證明：如圖， ①

②

由①+②得：

即

若在內部，則

，

進一步證明發現，其逆命題也成立。

結論（2）：設點是所在平面內一點，分別是中點，若有

，（其中）則 。

證明：如圖：，則

整理得：

以上是筆者對這道向量題的一點思考，希望能得到師生們的共鳴。在數學教學中，通過集體探索一題多解妙解，進而去探索其一般規律發現數學規律之美，培養學生的創新能力，相信學生能把它深深印在腦海里，永不磨滅！