用清六算盤 促小學數學教材教法改革

胡清六

1 前言

數學，就是顯示數量讀寫算的科學。清六算盤，為數量的讀寫算提供全方位的技術支持：量具系列、三用算盤、單位關系顯示儀、數量關系顯示儀。

2 清六算盤：顯示教育觀念的更新

數量，人們都是用單位的組合體去顯示的（空間形式），用相同單位的組合體——傳統顯示方式，用不同單位組合體——現代顯示方式。通過改變相同單位組合體的結構，簡易顯示為不同單位組合體（十進制或二進制），發明系列量具；算盤是對量具的抽象，發明三用算盤，分別顯示或自然數或十進制數或二進制數各自的寫法、算法與相互改寫；用組成一個數量的各不同單位與主單位的關系顯示，發明單位關系顯示儀，實現用一個數字（或自然數，或十進制數，或二進制數）表示數量（或整數，或分數，或小數）的寫法。

3 清六算盤：揭示數學教育改革的方向

自然數 顯示相同單位的個數。用于整數的認識；用于理解加、減等式顯示多數量的聯系，揭示同一單位個數的增減變化；用于求解兩數量的關系（比值或簡比）。

十進制數 顯示不同十進制單位各自的個數。制作單位關系顯示儀，直接顯示十進制、十進制數、單名數、復名數、將復名數簡寫成單名數——小數的認識、單名數的改寫、小數的基本性質、小數的大小變化規律與對數量的計算。

二進制數 顯示單位不同的個數，用于大眾化掌握計算器的計算原理；用計算器計算，能切實減輕學生負擔。

實現以自然數為基礎、以十進制數為主導、以二進制數為發展方向的數學教育。

4 清六算盤：簡單、科學、規律顯示和解決生活中的數學問題

數量關系，即一數量與標準數量的關系顯示。標準數量（或某計量單位，或每次量，或總數量），用三種排列，分別顯示（某計量單位、每次量）的不同個數、總數量的不同份數顯示（下數軸）；所表示的數量一一對應顯示（上數軸）；居中顯示軸，發明數量關系顯示儀（又名排列計數演算器）。它能顯示各數量在不同關系中的形成過程，利于學生明辨關系、正確列式、解決問題（此儀器若制成電子產品，附加值更高）。

1）多數量的聯系，用加、減等式顯示，揭示同一單位個數的增減變化。

2）兩數量關系，用乘、除等式顯示，比值顯示兩數量的關系。

3）兩數量存在狀態，用正、反比例顯示，簡比顯示兩數的存在狀態。

5 清六算盤：改變傳統教學方式

量的認識 空間存在的自然物體、產品或物體具有的價值、長度、重量、面積、體積等都是量。不同的量，有各自不同的單位，如元、米、克……

單位的認識 用數學模型顯示單位的意義，用1顯示單位的寫法，用名稱分辨單位的不同，單位三要素的顯示在數學教學中處處用到。

數量的認識 人們都是用單位的組合體去顯示數量（空間形式）。數字是對單位組合體的定量刻畫，數量是對單位組合體的定性把握。

1）數字：顯示單位的個數（自然數、十進制數、二進制數……）。

①認識數碼（記數的記號）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。

②自然數的寫法算法：用十進位位置制（位置順序）顯示數碼的組合。

③十進制數的寫法算法：用十進制（數位順序），顯示不同單位各自的個數。

④二進制數的寫法算法：用二進制（數位順序），顯示單位不同的個數。

2）數量：顯示一數字（或自然數，或十進制數，或二進制數）與主單位的名稱的組合，用各組成單位與主單位的關系顯示數量的寫法，如整數、分數、小數。

①整數：只顯示哪個單位的個數，即用自然數表示的數量是整數。如自然數13，可表示13（個）雞蛋、13（米）長度、13（元）人民幣……

②分數：只顯示兩個不同單位各自的個數，如1市尺、1米1市尺、13米1市尺，分別用“米”為名稱表示各長度，依據1市尺與1米的關系為：1（兩單位的單位值顯示），故分別寫作米、1米、13米。用分數表示數量，生活中越來越少。

③小數：小數是用十進制數表示的數量。如3元2角5分的顯示：

…元 角 分（十進制：顯示左右相鄰兩單位關系為10

的排列）

3 2 5（十進制數）

可以寫作3.25元、32.5角、325.分。小數點的意義指示主單位所在數位。用小數表示數量，生活中越用越火；用自然數表示數量，從古到今一直沿用，奠定它在數學中的基礎地位；用十進制數表示數量，發生在近代，它能將復名數簡寫成單名數（小數），顯示單名數的改寫、小數的基本性質、小數的大小變化規律，決定了它在數學中的主導地位。由十進制轉換為二進制，能實現大眾化掌握計算機計算原理，利于學生未來發展；計算用計算器，能切實減輕學生負擔。

6 清六算盤：直面數學教材改革

1）對數學教材中“自然數都是整數”的說法有異議。自然數顯示某單位的個數，如5（數字）；整數顯示哪個單位的個數，如5元（數量）。自然數沒有正、負之說，整數有正、負之分。

2）對數量（單名數）與兩數量的關系（比值或簡比），要準確辨別。數量如5元、?元、4.25元，比值如甲是乙的5倍、甲是乙的? 、甲是乙的4.25倍。數學教材中把它們都說成是整數、分數、小數，這樣就把一個數量的不同寫法與兩個數量的關系的不同顯示混為一談，搞亂學生的思維，使學生無所適從。

3）單位值的顯示與命名是數學教育改革的必然要求。如：

…元角分 …元角分 …元角分（數位順序）

1.1 1 1 1.1 1 1 1.

寫作1.11元、11.1角、111分（主單位的單位值為1）。

以下用十進制數表示數量的實驗結論。

①不同單位，用1在不同數位顯示。

②各不同單位的單位值，隨主單位的確定而確定，隨主單位的變更而變化。

③單位的不同與大小分辨：既可以用單位的名稱不同顯示；也可以用1在數位的不同顯示；同樣可以用單位值的不同顯示。注：單位值或為一個數，或為一個冪。

④一數字所在數位不動，顯示數量的大小不變；小數點位置移動，實現單名數改寫。如：

百十元角分 百十元角分 百十元角分 百十元角分…

.325 3.25 32.5 325.

寫作0.325元、3.25元、32.5元、325元

⑤一個小數，其小數點所在數位不動，其小數的數字或左或右位置移動，小數的大小發生規律性變化（與數學教材中小數的大小變化規律的陳述完全相反）。

7 清六算盤：對1的不同意義能全面展示，使數學教學具體而生動

對一個數量的定量刻畫 在其數字中，1顯示基本單

位；在其數量中，1 顯示主單位。

1）在相同單位的組合體中（傳統顯示方式）。

定量刻畫：1顯示組合體中的單位（基本單位），它就是自然數1，大于1的自然數，顯示這個單位的不同個數（數字）。

定性把握：1顯示主單位，是指用這個單位的名稱顯示單位個數的多少（數量）。用自然數表示數量的多少，基本單位與主單位為同一個單位（特性）。

2）在不同單位的組合體中（現代顯示方式）。

定量刻畫：1顯示不同單位中的基本單位（最小的單位），如1元1角1分，數字是111，1在不同數位顯示分別為100、10、1（基本單位）。

定性把握：1顯示主單位。主單位的單位值為1，其他不同單位的單位值，分別用它與主單位的關系顯示。如1.11元，它顯示用“元”的名稱表示金額，元、角、分的單位值分別是：1（主單位）、0.1、0.01（基本單位）。不同單位的單位值隨主單位的確定而確定、變更而變化。用十進制數表示數量的多少，基本單位與主單位不一定是同一單位。

對兩數量關系的定量刻畫 顯示產生關系的標準數量用1指明。

1）在顯示多數量的聯系中，1顯示基本單位的存在。如因1分米=0.1米=1/10米（同一基本單位的不同顯示法），故它們的1個或多個表示的同一數量的不同寫法一一對應顯示如下：

1 2 3 ... 11 12 13...（分米）

0.1 0.2 0.3 ... 1.1 1.2 1.3...（米）

整數加減等式，直接顯示某單位個數的增減變化，學生易于理解。分數加減等式，小數加減等式，特別是整數、分數、小數混合加減等式中各數量，各自擁有同一單位的個數顯示不明顯，學生理解困難（用不同意義的數改寫）。

2）在兩數量的直接關系顯示中，1顯示其中一個數量的存在。如：36與12的關系，用3與1顯示，表達為36是12的3倍；12與36的關系，用與1顯示，表達為12是36的。

3）在兩數量的間接關系顯示中，1顯示兩數量產生關系的標準數量的存在。如：56與72的關系，用7與9顯示，1顯示的數是8（每次量·最大公約數），表達為56與72的比是7：9（或56是72的7/9）。又如兩車行同一路程的車速分別是90與120（公里），用時分別是4與3（小時），90與120的關系用?與顯示，1顯示的總路程是360（總數量·最小公倍數），列式：90：120=?：（教材顯示為90×4=120×3）。

8 總結

數量關系顯示儀，對1的不同意義的全面展示是對數學教材中“單位1”的定義（一個物體或許多物體都可以用自然數1來表示，通常把它叫作“單位1”的）全面解惑，使抽象的數學知識在教學活動中反映具體、生動的生活現象。