初中數(shù)學(xué)因式分解規(guī)律化教學(xué)探討

陳飛龍

【摘要】 本文在初中數(shù)學(xué)因式分解疑難點透析基礎(chǔ)上，緊扣因式分解方法，對因式分解規(guī)律化教學(xué)進(jìn)行探討，總結(jié)出一套行之有效的方法，提高課堂教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】 因式分解 規(guī)律化教學(xué) 提公因式法 公式法 綜合化

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）06-133-010

因式分解有什么意義呢？為什么要進(jìn)行因式分解呢？因式分解其實是整式乘法的逆運算，是分式約分、化簡的基礎(chǔ)，是一些日常簡便運算的一種重要思路……既然因式分解這么重要，我們在教學(xué)過程中就不能掉以輕心，必須認(rèn)真對待。

一、提公因式法分解因式

什么是公因式？我們通常把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。在因式分解的過程中如何找準(zhǔn)、找全公因式？找到之后又如何去分解因式？

勿庸置疑，若一個多項式中各項系數(shù)為1或-1的，找起來是很容易的。如ab+bc的公因式是b；x3y-x2y的公因式是x2.若多項式中各項系數(shù)并不是1或-1的，那還要找各項數(shù)字因數(shù)的最大公約數(shù)來充當(dāng)公因式的一部分因數(shù)。如：24a2b+36ab2c的公因式是6ab，這是因為24與36的最大公約數(shù)是6；24a2b與36ab2c這兩項中，以a為相同底數(shù)的冪的最低次數(shù)是1，以b為相同底數(shù)的冪的最低次數(shù)是1。因此，它們的公因式就是6ab.這樣我們就知道公因式是怎么回事了，它就是各項數(shù)字因數(shù)的最大公約數(shù)與各項同底數(shù)冪的最低指數(shù)冪的組合因式。它是由數(shù)字因數(shù)與最低指數(shù)冪兩部分組合而成。

弄清這一點后，提公因式時就要注意了。先找數(shù)字因數(shù)部分的公因式，再找相同底數(shù)冪的公因式，組合寫在一起，就是這個多項式的公因式。如：8a2b2-12ab2c+4ab，8，12，4這幾個數(shù)字的公因式是4；a2b2，ab2c，ab這幾個字母部分的公因式是ab，因此整個式子的公因式是4ab.另外，還有一些多項式中又含有多項式的式子，如a（x-3）+2b（x-3），它的公因式是（x-3）.這個與上面所述的方法大同小異，在此就不作贅述。如果把學(xué)到這一點就已理解了公因式的真諦，那就錯了。還有一種情況，如多項式-24x3+12x2-28x，按照上面的理解，該多項式的公因式就是4x，但按照北師大版2016版的教科書的理解及一些資料如南方出版社的《學(xué)考精練》的理解，該多項式的公因式是-4x。

只找準(zhǔn)了公因式，還未學(xué)會如何去分解，當(dāng)然是不夠的。如何去分解呢？我們還是先從簡單的入手。如上面提到的式子分解如下：

8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc+1）.

首先把公因式寫在前面，緊接著加一個括號，里面就收拾原式中除去公因式后剩余的部份就行了，原先的符號不變。如：8a2b2中的8除去了數(shù)字因數(shù)4，還剩一個因數(shù)2. a2b2除去了因式ab，還剩下因式ab，因此該項就剩下2ab，其它項類同。值得一提的是：當(dāng)多項式中有與公因式相同的項時，要用1去代替而不能認(rèn)為它什么都沒有了。收拾殘留時，符號是不變的。如上面式子中的4ab，已全部提出去了，所以用1代替，有不少同學(xué)就錯誤地分解如下：8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc）.但若遇到前面提到過的-24x3+12x2-28x，這個多項式第一項為負(fù)的時，又該如何去進(jìn)行分解呢？若一步到位地將公因式-4x提出來，那么每項的殘留都會涉及到符號問題，非常的不方便。這時我們可把負(fù)號先提出，各項變號后，就不需要再在提公因式時考慮負(fù)號了。因此該式可以這樣分解：

-24x3+12x2-28x=-（24x3-12x2+28x）

=-4x（6x2-3x+7）。

還有一種變式的公因式，可能會有一些同學(xué)所識別不出來。那就是互為相反數(shù)的式子可以形變成公因式。例如將下列各式因式分解：

（1）a（x-y）+b（y-x）； （2）6（m-n）2-12（n-m）3。

我們可以不難發(fā)現(xiàn)（x-y）與（y-x）不是公因式，但他們互為相反數(shù)。同理（m-n）與（n-m）也是互為相反數(shù)。教學(xué)時，我們不妨先舉個簡單顯淺的相反數(shù)形變來講解一下其中的奧妙之處。如：1的相反數(shù)是-1，1是不等于-1的。但我們再次找-1的相反數(shù)，把它寫成-（-1）；那么1=-（-1）；這就告訴我們，我們可以通過偶數(shù)次變換相反數(shù)來獲得與原數(shù)等值的形變。因而上面兩道式子可以分解如下：

（1）a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）

=（a-b）（x-y）；

（2）6（m-n）2-12（n-m）3=6（n-m）2-12（n-m）3

=6（n-m）2[1-2（n-m）]

=6（n-m）2（1-2n+2m）。

從上面兩式的分解來看，我們不難想象：如果是冪的底數(shù)互為相反數(shù)，那么選擇指數(shù)為偶數(shù)的冪來進(jìn)行形變比較方便。

二、公式法分解因式

1.平方差公式。（a+b）（a-b）=a2-b2，這是整式乘法的特例公式。逆過來運算才是分解因式：a2-b2=（a+b）（a-b）。我們不難發(fā)現(xiàn)，要運用這道公式分解因式，前提條件是：

a.這個多項式是由兩大項組成；

b.這兩大項必須是平方項或可以改寫成平方項。不能是部分平方而是整大項的平方；

c.這兩個平方項必須是異號的（因為異號才可以寫成差的形式）。

分解方法：用這兩大項的底數(shù)進(jìn)行相加、相減然后再把結(jié)果相乘。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該告誡學(xué)生切勿操之過急，胡亂套用公式。如：

25-16x2=52-（4x）2

=（5+4x）（5-4x）。

錯例分析：

（1）m2-9n2=（m+9n）（m-9n），這是錯誤的。

正確的答案是m2-9n2=（m+3n）（m-3n）。因為9n2這一項只有n在平方，而9并未加入到平方的行列。應(yīng)先將9n2變成（3n）2，這樣才符合是整項的平方。

（2）-x2-y2=-（x+y）（x-y），這是也錯誤的。

在教學(xué)過程中，要提點學(xué)生不要以為有個-號就是差。真正的差的概念是兩項異號。

2.完全平方公式。（a±b）2=a2±2ab+b2，這也是整式乘法的特例公式。逆過來運算才是分解因式：a2±2ab+b2=（a±b）2；經(jīng)觀察找規(guī)律后，我們不難發(fā)現(xiàn)，要運用這道公式分解因式，前提條件是：

a.這個多項式由三大項組成；

b.其中有兩大項是平方項且是同號的；

c.這兩大項底數(shù)乘積的2倍（不限正負(fù)）要出現(xiàn)。

分解方法：兩底數(shù)相加或相減（原式中2倍底數(shù)積項是正的就相加，是負(fù)的就相減）后再平方，這種分解最后的形式一般都是括號括住后再平方的。

三、綜合化分解因式

因式分解是多變的，靈活的，有時還會是綜合的。如：x4-x2；這道式子綜合了提公因式法分解因式與運用平方差公式法分解因式，分解如下：

x4-x2=x2（x2-1）

=x2（x+1）（x-1）

因此，我們在分解時，應(yīng)當(dāng)遵守以下原則：（1）對于第一項為負(fù)的多項式，優(yōu)先考慮將負(fù)號提出（尤其是三項以上的）；（2）能夠用提公因式法分解的，先用提公因式法分解；（3）分解之后能夠化簡的要化到最簡，分解之后還可以再進(jìn)一步分解的還要繼續(xù)分解。

綜上所述，在教學(xué)因式分解時，我們就應(yīng)當(dāng)不斷地引導(dǎo)學(xué)生挖掘分解因式中所蘊含的規(guī)律，讓學(xué)生對規(guī)律變化進(jìn)行由淺入深、循序漸進(jìn)地探討，總結(jié)出一套行之有效的方法，提高課堂教學(xué)效果。