基于近似模型的空心彈氣動外形數值優化

趙 強, 陳志華

(南京理工大學 瞬態物理國家重點實驗室, 江蘇 南京 210094)

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基于近似模型的空心彈氣動外形數值優化

趙 強, 陳志華*

(南京理工大學 瞬態物理國家重點實驗室, 江蘇 南京 210094)

作為一種新型超聲速彈藥，空心彈具有阻力小、精度高等優點，在航空與防空彈藥領域具有廣闊的發展前景。本文以課題組前期研究的某30 mm空心彈為例，基于四階多項式響應面近似模型，綜合運用UG、ICEM CFD、FLUENT、MATLAB等軟件，結合單純形法，以最小阻力系數為目標對空心彈的氣動外形進行了優化，得到了α=0°、Ma=3.0條件下的空心彈最小阻力系數及氣動外形參數，該阻力系數與前期數值模擬研究結果相同。在此基礎上，以最小阻力系數為目標對α=0°與4°、Ma=2.5～4.0條件下的氣動外形進行了優化，得到了相應外形參數的變化范圍。另外，利用Kriging近似模型和NSGA-II優化算法等，并以最小阻力系數和最大升阻比為目標，對α=4°、Ma=3.0條件下的空心彈氣動外形進行了優化，得到了相應的優化外形。與初始彈形相比，優化后空心彈的氣動阻力明顯減小。本文驗證了近似模型可用于空心彈氣動外形優化設計，可為相關工程應用與研究提供重要參考。

空心彈；近似模型；阻力系數；升阻比；優化算法

Keywords: hollow projectile; approximation model; drag coefficient; lift-drag ratio; optimization algorithm

0 引 言

空心彈因其飛行部分是一個中間為空心的薄壁圓管，也被稱為管式彈丸，是一種新型超聲速彈藥。與傳統實心彈相比，空心彈具有阻力小、準確度與精度高、成本低、發射武器后坐力小、勤務處理性能更好等優點[1-2]，在航空與防空彈藥領域具有廣闊的應用前景。

早在20世紀70年代，我國和外國就對空心彈開展了廣泛的研究，西方主要以應用開發研究及可行性試驗為主[3-5]，并開發了相應的制式彈藥。國內主要對空心彈的研究成果進行了總結以及部分試驗驗證[6-7]。李惠昌[6]等人結合試驗研究情況，詳細地敘述了空心彈阻力小、散布精度高與侵徹效果好的特性，給出了阻力系數的近似估算公式，并分析了空心彈的陀螺穩定性；楊金耀[7]對空心彈的風洞試驗裝置進行了研究。隨著CFD技術的發展，對空心彈的氣動特性研究主要以流場模擬為主[2,8-9]。李艷玲、陳志華[2]等人利用FLUENT軟件對某30 mm空心彈進行了真實條件下的氣動特性研究，得到了空心彈的波系結構、壓力分布與阻力系數的變化規律；任登鳳、譚俊杰[8]等人采用非結構網格的LU-SGS隱式算法計算三維Euler方程，數值模擬了不同馬赫數以及不同攻角下的某37 mm空心彈流場，分析了升、阻力特性及流場的波系結構；陳楊、廖振強[9]等人對12.7 mm口徑試驗彈進行了數值模擬研究，并分析了其外彈道特性。另外，黃振貴、李艷玲[1]等人利用CFD技術，對空心彈不同外形參數條件下的氣動特性進行了數值模擬，并利用窮舉法對空心彈進行了氣動外形數值分析，得到了最小阻力系數的氣動外形。

近年來，隨著計算機技術的發展，涌現了一大批通用和專用的科學研究和工程應用軟件，如工程分析中常用的CAD/CAE/SC類軟件，解決了眾多領域的科學與工程問題，創造了巨大的經濟和社會效益[10]。為了得到空心彈氣動阻力系數最小的最優外形，本文運用腳本程序驅動編寫的模型更新程序自動實現對UG建立的三維模型的更新，并利用FLUENT對空心彈進行三維流場模擬，得到數值試驗結果，并建立近似模型；然后，通過MATLAB編寫程序對空心彈基于最小氣動阻力系數的氣動外形進行優化，得到了與前期研究一致的氣動外形，驗證了本文方法的可行性。在此基礎上，以最小阻力系數為目標，對不同飛行環境下的空心彈氣動外形進行了優化，得到了飛行馬赫數范圍對應的優化外形。最后，以最小阻力系數和最大升阻比為目標對空心彈氣動外形進行了優化，得到了相應的優化外形。

1 空心彈氣動外形單目標數值優化

本文采用課題組前期研究的三維空心彈模型[1]，其二維形式如圖1所示。空心彈內喉道面積與入口面積之比必須大于一定值，否則會出現“堵塞”現象[3]。而當內徑繼續增大時則對氣動力的影響不明顯，所以本文優化變量沒有內徑d，僅選擇了L1與L2。L1、L2均在20 mm～60 mm的范圍變化，且同樣僅以最小阻力系數為目標進行優化。對空心彈流場的數值模擬方法與前期工作相同[1]，即方程的對流項采用二階AUSM格式，粘性項采用中心差分格式，時間步進則取二階R-K格式。

圖1 空心彈的基本模型[1](單位：mm)Fig.1 Basic model of a hollow projectile[1](unit:mm)

1.1 近似模型構建

1.1.1 試驗設計

采用的試驗設計方法是最優拉丁超立方，該方法是對拉丁方設計的改進與優化[15-16]。最優拉丁超立方設計的試驗次數可以靈活選擇，一般要求試驗所包含的有用信息要盡量多，以便于對試驗結果進行更好地分析。為了研究L1與L2對阻力系數的影響，建立阻力系數與L1、L2的高精度函數關系，并經過對試驗次數的多次嘗試、比較，最終確定試驗次數為30。

生成數值試驗數據的過程如下：(1)通過VBS腳本程序驅動模型更新程序UG_Update.exe，實現三維幾何模型參數的更新，提供空心彈和計算域的幾何信息；(2)利用VBS腳本程序驅動命令流文件ICEM_CFD.rpl，實現空心彈結構化網格的自動劃分；(3)運用VBS腳本程序驅動命令流文件FLUENT.jou，進行空心彈阻力系數計算。30次數值試驗的部分結果見表1，與文獻[1]的二維結果對比情況如圖2～圖3所示。

表1 阻力系數的部分數值試驗結果Table 1 Partial numerical results of the drag coefficient

圖2 外壁阻力系數CD1隨L1的變化情況Fig.2 Variation of the outer wall drag coefficient CD1 with L1

圖3 內壁阻力系數CD2隨L2的變化情況Fig.3 Variation of the inner wall drag coefficient CD2 with L2

由圖2～圖3可知，三維流場計算的內外壁阻力系數與二維流場計算結果隨L2、L1的變化趨勢相同。由圖2可以看出，三維流場計算的外壁(Wall 1+Wall 2+Wall 3+Wall 4)阻力系數比二維流場計算結果要大，但兩者具有較好的平行關系，曲線的最小值點取的L1值較為接近。通過圖3，可知L2值在一定的范圍內，二維流場計算的內壁(Wall 5+Wall 6+Wall 7+Wall 8)阻力系數要比三維流場得到的結果大，L2超過一定值后，情況則相反；同時，二維流場在內壁阻力取得最小值附近變化非常平緩，三維流場在最小值附近則變化明顯，且三維內壁最小阻力系數小于二維內壁最小阻力系數，這是因為三維空心彈內腔的流通性好于二維，應以三維結果為主。

1.1.2 阻力系數近似模型的構建

選用多項式響應面模型來構建阻力系數的近似模型。多項式響應面模型是一種采用統計學回歸分析進行函數擬合的近似模型，表達式如下：

(1)

式中，xi是m維自變量x的第i個分量，β0、βi、βij等為未知參數。

當然，也可以考慮用某些適當的函數g(x)來代替式(1)中的x，由此得到的模型可稱為廣義多項式響應面模型，該模型的數學表達式如式(2)所示：

(2)

式中，函數gi(x)由問題本身的物理性質來確定。

建立的阻力系數的四階多項式響應面模型的表達式如下：

(3)

若以殘差平方和最小作為目標來擬合多項式，最終得到響應面模型的表達式如下：

(4)

1.2 基于近似模型的空心彈阻力系數優化

隨著數學規劃和計算機技術的完善，對工程系統進行優化設計的技術得到迅速發展并得到實際應用。優化設計中涉及的常常是高維、非線性規劃問題，用于求解此類問題的算法有：經典優化方法、全局優化方法、現代優化算法和混合優化策略[17]。在優化過程中，無論是經典優化方法還是智能優化方法，均有其適用范圍及優缺點，因此，針對不同的優化問題選擇合適的優化方法至關重要。

圖4 α=0°、Ma=3.0條件下阻力系數的響應面Fig.4 Response surface for the drag coefficientat α=0° and Ma=3

基于近似模型得到的優化空心彈外形參數與文獻[1]中的結果比較接近，驗證了利用近似模型進行空心彈氣動外形數值優化方法的正確性。與文獻[1]中優化結果的差異，主要在于本文采用的數值試驗樣本是基于三維模型的數值流場得到的計算結果，而文獻[1]中的計算結果則基于二維模型，另外網格質量、L1與L2的交互影響和近似模型的精度等因素都會對優化結果有影響。

按照上述方法，同樣以最小阻力系數為目標，對空心彈飛行馬赫數范圍Ma=2.5～4.0、攻角α=0°與4°條件下的氣動外形進行了優化，優化的氣動外形參數見表2。由表2可以看出，L1和L2分別在45.20mm～51.61mm和39.23mm～42.08mm的范圍變化，可根據實際情況(如彈的主要飛行馬赫數和空間范圍)進行相應的取值。

表2 優化的氣動外形參數Table 2 Optimized aerodynamic configuration parameters

2 空心彈氣動外形多目標數值優化

對于質量一定的空心彈而言(該空心彈模型的體積不隨L1、L2的變化而變化)，以L1、L2作為優化參數，L1、L2均在20 mm～60 mm的范圍變化，以最小阻力系數和最大升阻比作為優化目標對空心彈進行了氣動外形優化設計。

2.1 試驗設計

直接采用前面驗證過程中通過ICEM CFD生成的30組網格，然后運用VBS腳本程序驅動新的命令流文件FLUENT.jou，進行空心彈阻力系數CD與升力系數CL的計算。30次數值試驗的部分結果如表3所示。

表3 阻力系數與升力系數的部分數值試驗結果Table 3 Partial numerical results of the drag and lift coefficients

2.2 近似模型構建

阻力系數仍采用四階多項式響應面模型，模型的表達式如下：

(5)

對于升力系數，選擇Kriging模型來構建其近似模型。Kriging模型是一種基于統計理論、充分考慮變量空間相關特征的插值技術[18]，包含回歸模型部分與隨機模型部分：

(6)

為討論方便，假定q=1，即一維響應，此時式(6)可以寫為：

(7)

式中，回歸模型f(x)Tβ提供全局近似，且通常為多項式函數；隨機模型z(x)提供局部偏差近似，其均值為零，方差為σ2，協方差為：

(8)

式中，R(θ,w,x)是帶有參數向量θ的相關函數，表示訓練樣本點之間的空間相關性，其表達式為：

(9)

采用的相關函數為GAUSS函數，其表達式如下：

(10)

由無偏條件與預測模型的方差最小條件，可以得出預測點的響應值和均方誤差分別為：

(11)

φ(x)=σ2[1+uT(FTR-1F)-1u-

(12)

其中：

β*=(FTR-1F)-1FTR-1Y

r(x)=[R(θ,s1,x)R(θ,s2,x) …R(θ,sm,x)]T

R=[Rij]=[R(θ,si,sj)], (i,j=1,…,m)

u=FTR-1r(x)-f(x)

建立升力系數的Kriging近似模型的過程如下：

(1) 對30個數值試驗樣本點S及其響應值Y進行按列歸一化；

(3) 輸出預測點的真實響應值：

式中，sY和mY分別為30個樣本點對應的升力系數的標準差和均值。

最終，得到升力系數的響應面和均方誤差，分別如圖5～圖6所示。圖5中的散點代表所有樣本點，由圖可知所有樣本點均位于響應面上。

圖5 α=4°、Ma=3.0條件下升力系數的響應面Fig.5 Response surface for the lift coefficient at α=4° and Ma=3

圖6 α=4°、Ma=3.0條件下升力系數的均方誤差Fig.6 Mean squared error(MSE) for the lift coefficient at α=4° and Ma=3

由圖6可知，均方誤差曲面在某些位置很平緩，數值幾乎為0，這些位置在樣本點處或離其很近的范圍內；而在某些位置會存在一些大的凸起，這些位置距離樣本點較遠。均方誤差越大，表明此預測值波動范圍大，預測值的不準確率越高。因此，本文在檢驗Kriging模型精度的時候，樣本點選在了[L1,L2]=[20,20]附近及[L1,L2]=[60,60]附近，檢驗樣本點的情況如表4所示。

表4 6個檢驗樣本Table 4 Six test samples

采用經驗累積方差標準[19]來檢驗Kriging模型的精度，計算公式如下：

(13)

式中，Ngrid為檢驗樣本點總數。由式(13)及表4求得：EISE=5.53×10-6；同時，檢驗樣本點中最大和最小相對誤差分別為2.09%和0.07%。

2.3 基于近似模型的空心彈多目標數值優化

采用非支配排序遺傳算法(NSGA-II)。NSGA-II由Deb等人于2000年提出[20]，是對NSGA算法的改進。在NSGA的基礎上加上了精英策略、虛擬適應度策略和快速非支配排序策略，在很大程度上改善了NSGA的計算復雜度較高、無精英策略、需要指定共享半徑等缺點，運算速度和魯棒性得到提高。它存在的不足是難以找到孤立點，此外，當目標數量增加時有可能產生搜索偏移。NSGA-II算法的實現步驟如下：

(1) 初始化種群Pt，t=0；

(2) 從Pt中選擇N個個體進入交配池，并對交配池中的個體實施交叉和變異操作，得到新種群Qt；

(3) 合并Pt和Qt得到種群Rt，對其進行非支配排序得到非支配解前端，并進行擁擠度計算，選出其中最好的N個形成下一代種群Pt+1，再進行交叉和變異計算得到Qt+1；

(4) 判斷終止條件是否成立，若是，運算停止，輸出Pareto解，否則執行步驟(3)。

NSGA-II采用模擬二進制交叉(SBX)[20-21]，交叉概率為0.9，交叉分布系數為20；使用均勻變異，變異分布系數為20；種群大小為100；進化代數為250。

通過優化計算得到Pareto最優解集，Pareto前沿如圖7所示，同時從Pareto前沿中選取3個設計點，將其列于表5。

由圖7和表5可以看出，與初始彈形(L1=20 mm、L2=20 mm，對應的CD=0.14004、CL/CD=1.59746)相比，優化后的空心彈阻力系數和升阻比都得到了一定程度的改善；但過分減小阻力系數或提高升阻比均會使另一目標變壞。理想的空心彈氣動外形要求阻力系數最小和升阻比最大，但由于這兩者不能同時滿足，故必須有所取舍。因此，在空心彈設計時，可根據不同的目標要求進行方案選擇，也可結合綜合評價方法進行方案選擇[22]。同時，本文對3個設計點進行了高精度FLUENT計算，1、2、3號設計點對應的CD和CL/CD分別為0.09439和1.8577、0.09614和1.9269以及0.09831和1.9643；對應的相對誤差分別為0.16%和0.23%、0.98%和0.90%以及0.63%和1.17%，進一步驗證了近似模型的高精度。

圖7 2個目標情況下的Pareto前沿Fig.7 Pareto front under the condition of two objectives表5 3個設計點的對比Table 5 Comparison between three design points

No.L1/mmL2/mmC^DC^L/C^D147.4941.410.094241.8535246.3944.100.095201.9442344.7947.350.097691.9872

3 結束語

本文建立了空心彈阻力系數的四階多項式響應面模型與升力系數的Kriging模型，并基于近似模型解決了空心彈氣動外形的優化設計問題，得到了攻角α=0°、Ma=3.0條件下的最小阻力系數氣動外形及攻角α=4°、Ma=3.0條件下阻力系數較小、升阻比較大的空心彈氣動外形。同時，本文也基于最小阻力系數對空心彈飛行馬赫數范圍Ma=2.5～4.0、攻角α=0°和4°條件下的氣動外形進行了優化，得到L1和L2的變化范圍分別為45.20 mm～51.61 mm和39.23 mm～42.08 mm。充分驗證了近似模型可用于空心彈氣動外形優化設計。

對優化后的氣動外形進行了FLUENT數值驗算，所得阻力系數與升力系數和使用近似模型得到的結果相差很小，進一步證明了所建立近似模型方法的可信度。針對空心彈設計優化問題，可進一步結合穩健性設計優化[23](如6 Sigma可靠性魯棒性設計優化)與多學科設計優化知識等，綜合考慮馬格努斯效應等，對空心彈氣動、彈道、結構(結合結構分析與優化軟件MSC/Patran& Nastran)等進行綜合設計優化，以進一步提高其整體性能。

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Numerical optimization of aerodynamic configuration of a hollow projectile based on the approximation model

ZHAO Qiang, CHEN Zhihua*

(NationalKeyLaboratoryofTransientPhysics,NUST,Nanjing210094,China)

As a new type of supersonic ammunition, the hollow projectile has advantages of low drag and high precision etc., and it has wide applications in aircraft and air defense field.In this paper, based on fourth-order polynomial response surface approximation model, combined with the application of UG, ICEM CFD, FLUENT, MATLAB, etc., and simplex method, the aerodynamic configuration of our previously studied 30mm hollow projectile has been numerically optimized for minimum drag coefficient, and the minimum drag coefficient and optimal aerodynamic configuration parameters were obtained for the hollow projectile at angle of attackα=0° and Mach numberMa=3.0.The minimum drag coefficient has good agreement with our previous numerical result.Based on the same optimal object of minimum drag coefficient, the aerodynamic configuration has been optimized atα=0°, 4°, andMa=2.5～4.0, and the variation ranges of corresponding configuration parameters were obtained.Moreover, by using Kriging approximation model and NSGA-II optimization algorithm etc., based on optimal objects of minimum drag coefficient and maximum lift-drag ratio, the aerodynamic configuration of the hollow projectile has been optimized numerically atα=4° andMa=3.0, and the optimal aerodynamic configuration has been obtained.Compared with the original hollow projectile, the aerodynamic drag force of the optimized one is significantly reduced.It is verified that approximation model can be applied to optimize aerodynamic configuration of a hollow projectile.This study can provide important guidance for relative engineering applications and investigations.

0258-1825(2017)03-0408-07

2015-05-13;

2015-08-04

趙強(1989-)，男，山東人，博士研究生，研究方向：彈箭設計及多學科優化.E-mail：zhaoqiangwq123@126.com

陳志華*(1967-)，男，湖南人，教授，博士，研究方向：飛行器氣動外形與變體優化設計.E-mail: chenzh@mail.njust.edu.cn

趙強, 陳志華.基于近似模型的空心彈氣動外形數值優化[J].空氣動力學學報, 2017, 35(3): 408-414.

10.7638/kqdlxxb-2015.0056 ZHAO Q, CHEN Z H.Numerical optimization of aerodynamic configuration of a hollow projectile based on the approximation model[J].Acta Aerodynamica Sinica, 2017, 35(3): 408-414.

TJ760.11

A doi: 10.7638/kqdlxxb-2015.0056