讓瞬間的“意外”變成永恒的精彩

江蘇蘇州吳中區木瀆實驗中學 (215000) 周先榮江蘇蘇州吳中區蘇苑高級中學 (215000) 張國棣

讓瞬間的“意外”變成永恒的精彩

江蘇蘇州吳中區木瀆實驗中學 (215000) 周先榮江蘇蘇州吳中區蘇苑高級中學 (215000) 張國棣

在江蘇省教育科學“十二五”規劃課題《普通高中數學教學方式的兼用性與生成性的實踐和研究》的研究過程中，從觀摩的大量課例看，老師對課堂教學的方式、內容都能夠進行充分的預設，而對課堂教學的生成性卻很難把握及時到位.一旦出現非預設的“意外”情況，教師會不自覺地將學生拉回到自己的預期軌道.而這種意外很多時候是學生情感和思維的迸發，是瞬間生成的難得的探究契機.本文淺談如何把握機遇將意外變成無法逾越的精彩.

一、意外瞬間，情感的激情流淌

課堂是個溫馨地，學生更是有情人.如果說文本之情是根本，教師之情是橋梁，那么，學生之情才是最終的價值指向.好的課堂，必須引導學生在教師的情感中感受情感，在文本的情感中領悟情感，在課堂的情感中點燃情感，讓學生流淌自己的情感，放縱自己的情感.

課堂意外的生成，對學生來講就是靈感激蕩的瞬間，老師適時的扶持，就像在學生的心海投下一枚石子，激起的漣漪正是學生學習的無窮動力.科學家錢學森說過：“靈感，也就是人在科學或藝術創作中的高潮，突然出現的、轉瞬即逝的短暫思維過程.” 數學思維靈感的出現往往帶有突然性，同時也可能轉瞬即逝.這種機不可失的“妙微心會”，錯過了就不會再來，往前走一步也許就是柳暗花明的新意境.

從學生核心素養的“適應個人終生發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”來看，我們教育的對象是具有豐富情感的生命個體，教育的目的不僅是向學生傳授知識技能，更應該尊重并滿足其合理的精神需求，培養其健康情感和完整人格.所以，我們要確立以人為本的理念,以學生為本的思想,不能把學生僅僅看成教育的對象、認知的群體,更重要的是要把學生看成獨立的生命主體.把握住每一次意外生成的契機，回歸到本應屬于生命主體的活動中去,回歸到學生具體的年齡、成長階段和時代背景中去，施以自然有效的引導、探索，少一點人為的雕琢,追求一種自然、和諧的原生態.呵護學生對知識的渴望、對自我成長的自信、對生命的珍視以及對生活的積極樂觀.

二、追蹤探究，問題的深度發現

課堂上，學生萌萌的眼神，喃喃的疑問，怯怯的一揮等等，都是學生發現問題，表達情感的方式，都有可能是意外生成的瞬間.教師要善于捕捉這樣的瞬間，抓住機遇將“意外”變成“無法逾越的精彩”，“教學原本是即席創作.”

1.萌萌的眼神，期盼老師的點撥

“眼睛是心靈的窗口”.有時老師不需要問學生“聽懂了嗎？”，也不需要回答“聽懂了”，只要短暫的對視，就可以從學生的眼神里讀懂學生的心靈，是“聽懂了”、“會做了”的喜悅，還是存在疑惑的期盼，還是充滿探索的欲望.通過心靈的對話，及時從學生期待的眼神中發現問題，及時探索，不要將問題留到“課后”.

如，在“函數的單調性(第一課時)”教學中，筆者構造了“我國1980年以來GDP變化情況”的問題情境.給出了1980年以來每年GDP的數值，讓學生分析數據，并指出隨年份增長的變化規律.為了讓學生更直觀的體會“遞增”，筆者還做了“條形圖”讓學生進行分析觀察感悟.隨后由學生自主的總結出函數單調性的定義.就在老師甚為得意之時，發現有些學生的眼神萌萌的有點迷茫，說明出現了意外情況.筆者暫停了下一個預設的教學流程，讓學生隨便談談自己的感想.果然，學生提出了問題：(1)定義里為什么要“任意”兩個字？(2)為什么是“區間”？

這說明學生還沒有真正理解這個概念.學生有時可以記憶概念、公式，并會用之解題，但真正的理解對學生來講是遙不可及的.數學里的定義、定理，老師會解釋、會證明，但很多學生感覺這些解釋、證明和自己無關，聽不懂.因為學生感覺和老師身在兩個世界里，老師在抽象的數學世界里，學生在現實的世界里，老師認為理所當然的事情，而學生正心存疑慮.找不到契合點就無法溝通，老師不能只進行抽象解釋，關鍵是指明從現實世界走向抽象世界的路徑.很多學生為什么害怕數學，除了“填鴨式”、“題海”等教學方式造成的厭倦因素外，很大一部分原因是學生沒有真正的理解數學.

情境中的“年份”是有限的，對于一個有限和無限數列來說，檢驗其是否單調很容易.函數的定義域M是區間、全體實數集R那樣的無法枚舉、分不出先后的無限集合.現在要檢驗它的函數值是否隨自變量的增大一直上升(或下降)，而且一個也不能少，怎么辦？此時的單調性刻畫，不能一個個檢驗，也沒有相鄰兩項可以比較.于是我們只能對“任取得”的兩個值做檢驗，即無論取哪兩個自變量的值，只要對函數作出比較.定義乃是一種形式化的數學表示，在認識上具有一定的跳躍性，學生的思維就會發生障礙.為什么“任意兩個”？非常突兀，究其根源還在于是無限集.通過這里的咬文嚼字，數學語言的嚴密性也顯現出來，這樣深度的探索，學生才能真正的理解了數學.

事實上，對“任意的……”，是數學語言的一次革命，19世紀末微積分嚴格化進程中出現的語言，極限定義中“對任意的”，這套語言把無限的過程寫成“有限的形式”.函數單調性也是這樣的轉換過程，有限的形式反映無限的內涵.

2.喃喃的疑問，預示探究的生成

課堂上，老師容易忽略的往往是學生的喃喃自語.說不定將學生的喃喃之語說成學生“好講話”，“干擾教學”.事實上，這往往是學生喧囂想法的一種方式，懾與老師的“威嚴”而不敢大聲質疑罷了.喃喃自語中可能生成新的探究情境，這是不應該被忽略的.筆者曾經疑問公園小池塘里的天鵝為什么不飛走去追求翱翔的自由呢？難道翅膀的羽毛被剪掉了嗎？不是.天鵝起飛需要一定的振翅劃水的距離，由于池塘小無法提供足夠的起飛距離，它飛不了.同樣，老師要給學生提供足夠的想象空間，放飛學生的思維，讓學生“振翅翱翔”.

如，在一節平面向量的復習課上.當師生梳理概念、原理的時候，一個學生小聲說“平面向量的基本定理怎么來的？有什么用！”面對這種喃喃自語，老師不予理睬嗎？不！學生的這種略略不滿的疑問，實際上是說明老師教學中存在失誤.試想：學生不知道所學習內容的發生歷程及重要價值，他能有學習興趣嗎？怎么辦？只有讓學生了解“為什么要學”，才能點燃學生繼續學習的熱情.事實上，數學原理是在數學學習的基礎上，對概念及概念之間的關系的學習.為什么有這個原理，在系統中起什么作用，這也是數學教學要關注的，是揭示數學本質的必然環節.

向量全面進入中學數學課程是21世紀的事情.最早古代就用向量表示力，公元前350年，亞里士多德就知道了力可以表示為兩個向量，兩個力的合力可以用平行四邊形的法則來得到.以后的一千多年，經歷文藝復興時期，牛頓創立微積分之后的17、18世紀，向量的知識都沒有什么變化.雖然伽利略更清楚的敘述了“平行四邊形”法則，但向量并沒有發展為獨立的學科.這種向量的加、減也停留在可操作的有限個向量的層面，這算是向量啟蒙階段.

有力的合成就必有力的分解.力的分解單靠加、減法運算無法完成，必須引進另一個運算“數乘”，有了“數乘”向量才具有了自己的特定數學結構.解決了許多向量計算問題，這就有了向量的基本定理.

基于平面上的全體向量做出的集合，定義了加法和數乘運算，就可以構成新的數學結構，叫空間向量.平面幾何與立體幾何以綜合法演繹為主，引入坐標后發展為坐標幾何即解析幾何，但解析幾何中的點不能運算，“點”作為向量后就可以運算了，這又比解析幾何更深一層，特別引進數量積后，向量幾何又插上翅膀超越了解析幾何.隨著計算機技術的發展，向量在未來將有更大的發展空間.可以說進入數量積，是向量的完善階段.

如果對向量基本定理不能這樣深入分析其存在的合理性，向量的學習就打了折扣.這個探索的過程，滲透了數學史、數學文化，這也是學生必備的數學素養.經過這樣的探索，學生感覺到向量的神奇，形成強大的學習內蓄力，這正是我們所期盼的.

3.怯怯的一揮，數學本質的發展

在問題解決中，怎樣尋找問題的關鍵信息，如何解釋、轉換問題的各種信息，怎樣將已經嘗試過的方法保存在頭腦中，怎樣權衡假設的可能性，如何將目標進行分解，如何將部分綜合成整體，在遇到困難時如何及時轉換思路，如何通過具體問題的解決歸納出一般的思想方法，等等.這些基本知識、基本技能的習得都是老師教學中需重點關注的.

但是，如何在數學問題的解決過程中，體現發現問題、提出問題并加以分析、解決的過程？如何在數學深度探索中，對問題結構性層次發展，更加關注基本活動經驗和基本思想的積淀？這些問題，本杰明·富蘭克林的一句名言：“Tell me, so I will forget.Show me, so I may remember. Involve me, so I will understand.”(告訴我，我忘了；給我看，我也許記住了；讓我參與其中，所以我理解了.)，這給了我們足夠的啟示.就是通過一系列更微觀的子問題探索，使學生對數學知識形成深刻的、結構化的理解，形成自己的、可以遷移的問題解決策略，強調的是使用數學的意識，培養學生的探索精神、合作意識和實際操作能力，通過問題解決產生更為濃厚的學習數學的興趣、形成認真求知的科學態度和勇于進取的堅定信念.這些探索過程的生成往往是一瞬間的事情，老師要抓住機遇，有“任憑風雨來襲，我自巋然不動”的讓學生堅定探究的理念.

如，課堂上筆者給出這樣的問題：請你用一塊正三角形紙片，剪拼成一個正三棱柱模型.

如圖1、2，當學生給出兩種解答之后，學生反思：因為正三棱柱的各個面展開后成一個平面十邊形，所以，要把正三角形紙片剪拼成正三棱柱,實際上就是把正三角形紙片剪拼成一個平面十邊形(等面積).

這時一個學生怯怯的舉起了手，問道：“任意一個三角形總可以(等面積)剪拼成一個十邊形？”面對這意外的發問，老師放棄了原來要講“下一題”的教學預設，改為讓學生對新問題的合作探究.

為了形成探究的梯度，老師鼓勵學生從特殊圖形(矩形、平行四邊形)出發“以簡馭繁”地探究問題，下面是學生探究的一些結果.

探究1 任意三角形都可以等面積地剪拼成一個矩形.

學生探究如圖3的剪拼過程(取三角形兩邊中點，三角形1和2、3和4分別是全等三角形).

探究2 兩個面積相等且有一個公共邊的矩形和平行四邊形可以互相剪拼.

如圖4，可以完成剪拼.

探究3 兩個面積相等的矩形可以互相剪拼.

如圖5，假設ABCD與EFGH是兩個面積相等的矩形，AB是兩個矩形中最長的邊，因為AB≥EH，可作EL等于AB，取KL等于EF，則平行四邊形EFKL與矩形ABCD、矩形EFGH都有一條等長的邊，可以相互剪拼.

這時學生又提出問題：“任意多邊形都可以(等面積)相互剪拼嗎？”，繼續探索吧！

探究4 任意多邊形都可以等面積地剪拼成一個矩形.

學生的探究出現了困難，老師及時發揮“腳手架”的作用，進行點撥、扶持.學生解釋以下事實：多變形可以剪拼成若干個三角形，由探究1、探究3，在理論上是可以完成的.

探究5 兩個面積相等的任意多邊形可以互相剪拼.

學生解釋：可以把其中一個多邊形(等面積地)剪拼成一個矩形,另外一個(多邊形)也可以(等面積地)剪拼成同樣一個矩形,既然兩個多邊形都能剪拼成同一個矩形,說明這兩個多邊形是可以互相剪拼的.

這就是著名的波爾約-蓋爾文定理.學生為了能探索這樣深奧的數學而歡呼.這樣的探究，重要的是在反思中培養學生提出問題、解決問題的意識，和探究問題的興趣.

波利亞指出：“一個好的教師應該懂得并傳授給學生下述看法：沒有任何一道題可以解決的十全十美，總剩下一些工作要做，經過充分的探討總結，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平”.暮然回首，只因在燈火闌珊處“多看了你一眼”，出現了瞬間的驚喜，往前一步，就會帶來無限風光.

三、仰望星空，看到數學的深邃

仰望星空的人，看得到1+1=2中的函數思想，看得到簡單數學問題背后的長長的數學思想隧道，看得到數學的深邃.有智慧的人會把復雜的問題教的簡單，會把簡單的問題教的厚實，會讓人從一個概念、一個公式、一個算法中看到整個數學學科的魅力.當教師的眼里有真正的數學，當課堂中有真正的學生，數學教育就有了撬動地球的支點.

理查德·科朗(Richard Courant)在《什么是數學》中指出：“數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理和對完美境界的追求.”愛恩斯坦曾說過：“提出一個問題比解決問題更重要，后者僅僅是方法和實驗過程，而前者則要找到問題的關鍵和要害”.被老師“牽著走”的學生是學不好數學的.只有學生不停的自主提出問題、探索問題才能讓思維更加厚重.

布盧姆(Benjamin Bloom)對學習分為六個部分知識、領會、應用、分析、綜合、評價.學生“領會”數學已經不易，要學生能夠評價數學、評價自己的學習，老師教學必須從“知道什么”到能夠運用知識 “解決什么”的轉型，更重要的是從“解決問題”到“提出問題”的轉型，這是培養學生創新思維的根本.

總之，在“意外”生成的探索中，引導學生不斷地對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題所蘊含的數學方法、數學思想進行不斷的思考并做出新的判斷，讓學生體會發現帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感.長此以往，逐步養成學生獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學，這是學好數學的必要條件.

[1]張奠宙.數學教育隨想集[M].華東師范大學出版社.2013.5.