“小題大做”

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

“小題大做”

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

波利亞說過“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像一道門，把學生引入一個完整的理論領域.”筆者在學考考前模擬中設計了一道數量積的試題，未曾想，竟與4月10日剛剛結束的2017年浙江省學考第22題類似.

1 考題呈現

圖1

2 一題多解

這兩題考查的都是數量積的知識點，而向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，數量積恰好位于知識點的交匯處，所以對它深入的研究和挖掘就顯得很有必要.處理平面向量數量積問題通常有定義法，坐標法，投影(幾何意義)法和極化恒等式四種方法.一題會解這樣是否就夠用了呢？答案肯定是否定的，會一種方法那叫淺嘗即止，當我們調動所學知識，在知識的交匯處將知識模塊串起來，將數學方法串起來，這樣才能打開學生的數學視角，培養學生的創新思維，提高學生的數學能力，讓學生真正覺得數學是自然的，數學是有趣的.

2.1 建系坐標化的視角

圖2

評注:學生習慣于把數量積問題轉化為坐標來解決，而建系是基于計算方便的考慮，常見建系方式如上面的解法，通過坐標表示，將問題轉化為函數求值域問題，根據F的位置限制，得到對應坐標的范圍，從而得出結果.

2.2 三角代換的視角

既然與圓有關，那能否利用圓的參數方程(三角代換)來解決這個問題呢？

2.3 余弦定理以及基本不等式的視角

2.4 等面積的視角

評注:通過等面積法將所求目標轉化為“定”底“變”高的三角形的高，隨著F的改變帶動hF的變化，將抽象的代數問題轉化為直觀的幾何問題，簡潔明了.

圖3

2.5 極化恒等式的視角

圖4

2.6 合情推理(特殊值驗證法)的視角

點評:此法應對選擇填空有時可以起到秒殺的作用，應對大題顯得不夠嚴謹，但是巧算巧解體現了學生的創新思維，應給予肯定和鼓勵.

3 一題多變

3.1 將P限制條件去掉，改成P在外接圓上任意一點，有了前面的視角和方法處理起來更為方便.

圖5

圖6

評注:由以上變式發現處理平面向量數量積問題時，如果出現的是同起點的類型，應用極化恒等式可以起到簡化作用，當然坐標表示、定義和投影也都是可以選擇的方法，就留給讀者去完成，去品味.在有多種方法可以選擇的時候，考驗的是一種數學能力，如何選擇熟悉的、簡潔的方法來科學的處理一類題，從一題多解走向多題一解.

4 總結提升

羅增儒教授曾說：“數學解題無禁區，數學教學有講究.”有意識的積累“知識鏈、方法鏈”，我們常說的“舉一反三”“觸類旁通”不就落到了實處[1]？能根據教材內容、學生實際、高考能力要求改編和精選一些有針對性的訓練題，讓學生經歷從記憶模仿到探索發現的過程，關鍵在探索發現，將相互看似“獨立”的知識有機的結合起來，這樣，我們的“小題大做”就可充分發揮它的功能.

[1]岳建良,邱山.發散提升理解回歸促進掌握[J].中學數學教學參考，2012(5)：26-29.