多角度探究一道試題的一般情形*

北京市第十二中學高中部 (100071) 劉 剛 趙 毅

多角度探究一道試題的一般情形*

北京市第十二中學高中部 (100071) 劉 剛 趙 毅

(1)求證：直線PA與PB的斜率乘積為定值；

(2)設點M，N在橢圓C上，O為坐標原點，當OM∥PA，ON∥PB時，求ΔOMN的面積．

試題考查了橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系、橢圓直徑的一個性質及以橢圓一組共軛直徑為背景的三角形面積問題，考查了坐標法的應用．經過對(2)問的一般化探究，可以得到下面的結論．

分析1:以MN為底，點O到直線MN的距離為高進行求解．

分析2:利用“水平底，鉛錘高”表示三角形的面積，并借助橢圓的參數方程進行求解．

分析3:利用直線OM，ON的方程進行求解．

分析4:利用極坐標方程進行求解．

分析5:利用坐標伸縮變換知識把橢圓變為圓進行求解．

教育家波利亞說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與研究，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平．” 通過以上多角度探究一道試題的一般情形，既能有效考查學生對所學知識的鞏固程度，也能考查靈活應用所學知識分析問題和解決問題的能力．

[1]劉剛，趙毅．一道高考模擬試題的探究[J]．中學數學研究(江西)，2016，11．

[2]劉剛，趙毅．一道高考模擬圓錐曲線試題的探究與啟示[J]．中學數學研究(江西)，2016，12．

*本文系北京市豐臺區“十三五”重點課題《新課程背景下高中數學競賽教學研究》(課題批準號：2016237-J)階段成果之一．