例談基于核心素養下的估算能力的培養

浙江省紹興魯迅中學 (312000) 陳少春

例談基于核心素養下的估算能力的培養

浙江省紹興魯迅中學 (312000) 陳少春

最近筆者拜讀了章建躍主任的《樹立課程意識，落實核心素養》一文，在文中章博士提出數學育人的核心是對學生進行數學的思維和言語的教育，即經過數學的閱讀、運算、推理和表達的訓練，使學生正確理解數學知識，構成用數學知識合理解釋直至創造性地處理問題的能力.應該去掉“非數學”的任務，讓數學課的教學目標純粹一些.對此筆者有些膚淺的感觸，現將一些思考拋出，與同仁分享.

從高等數學的角度考慮，估算能力是一個科研工作者必須具備的一種能力，在思考解決某一問題的方法是否可行是需要科研工作者提前有一個大致的“預估”，不然會導致科研工作走彎路、岔路，浪費大量的物力、人力.同時估算能力不是與生俱來的，是需要后天培養的.因此浙江省高考數學《考試說明》在運算求解能力中明確提出：“能根據要求對數據進行估算，并能進行近似計算”.可見“估算”是運算能力的重要組成部分，是高考考查的能力之一.估算是以正確的算理和深刻理解研究問題的本質為基礎，通過大體估值，合情猜想和特值探路等手段，進行粗略、近似地計算并獲得正確答案的過程.這是一種更高層次的思維能力，在數學解題中滲透估算意識，有效地避免“小題大做，費時費力”的邏輯推理過程，達到簡潔、快速、合理、準確解題的目的，恰到好處地契合了浙江高考命題倡導的“多考點想，少考點算”的基本理念，同時為學生進一步到高等學府做研究打下堅實的基礎.那我們在平時教學中怎么培養學生的估算能力呢？

一、培養估算意識和興趣

1.突出估算的重要性

估算在日常生活中雖然有廣泛的應用，但由于教學的忽視和學生生活經驗的缺乏，很少引起學生的注意.教師在教學中應多舉實例，多加引導，讓學生明白生活中處處要用到估算：點菜時事先估計餐費、外出時估計費用，估計完成一件工作所需的時間、裝修預算、鋪地面需要多少塊磚，估計樹的高度、湖面的寬度、樓層的高度等.學生在這些熟悉的、感興趣的情境中自然而然感受到生活離不開估算.另一方面，學生很向往大學生活，在平時的教學中可以利用蘊含估算思想的大學知識來解高中數學問題，激發學生的估算興趣.大學里微積分是一種重要的思維方法，它起源于極限思維、近似思維，在解決某些數列不等式放縮問題上事半功倍，過程簡潔明了.

例1 (2014年陜西理21)設函數f(x)=ln(x+1)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數.

(1)令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))，n∈N*,求gn(x)的表達式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)設n∈N*，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

解：(1)(2)略；

(1)求數列{an}的通項公式；

2.凸顯估算的優越性

長期以來，學生受數學計算精確性的影響，看到題目，想到的是筆算，很少想到估算.教師可設計一些既可筆算，又可估算的題目，讓學生用筆算與估算進行解答，通過兩種方法的對比，形成強烈的反差，從而凸顯估算的優越性，從內心上給學生以巨大的沖擊.

|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a3)-fk(a2)|+…+

A.I1

C.I1

二、打實數學基礎，掌握基本方法

數學基礎知識的重要性不言而喻，且現行高中教學改革和教學考試考查中對于基礎知識的理解和把握越來越引起廣泛的重視．根深之樹不易折，泉深之水不會涸.因此在課堂上就需要把基礎知識講清講透，通過舉一反三，強化學生對基礎知識的理解．

例4 (2015年浙江理7)存在函數f(x)滿足，對任意x∈R都有( ).

A．f(sin2x)=sinxB．f(sin2x)=x2+x

C．f(x2+1)=|x+1|

D．f(x2+2x)=|x+1|

這個問題考查的是函數周期性和對稱性的性質：若函數g(x)是周期為T的周期函數，則f(g(x))也是周期為T的周期函數；若函數g(x)圖像關于直線x=a對稱，則f(g(x))圖像也關于直線x=a對稱.若學生掌握這個性質，上面那個選擇題就可以估算“秒殺”.

例 (2013年浙江理8)已知e為自然對數的底數，設函數f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，則( ).

A．當k=1時，f(x)在x=1處取到極小值

B．當k=1時，f(x)在x=1處取到極大值

C．當k=2時，f(x)在x=1處取到極小值

D．當k=2時，f(x)在x=1處取到極大值

這個問題考查的是函數極值的概念，若學生對極值概念理解到位，那么選項C呼之欲出.

三、有效積累和總結估算策略

估算作為一種能力，集中表現在估算過程中需要運用各種有效策略，可以說“幾乎不存在不用策略的估算”，有效的估算，都會或多或少用到一定的策略與方法.常用的估算策略有：

1.大體估值：比較大小，證明不等式問題

例5 (2016年浙江理8)已知實數a,b,c.

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2<100

2.特值探路：參數范圍、離散問題

A.11B.9C.7D.5

例8 (2009年天津卷理10)0(ax)2的解集中的整數恰有3個，則( ).

A.-1

C.1

3.合情猜想：不等式、最值問題

例9 (2016年浙江理14)在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .

例11 設x,y,z>0，滿足xyz+y2+z2=8，則log4x+log2y+log2z的最大值是．

解：由題xyz+y2+z2=8知y、z的數學邏輯地位是等價的，故可猜想當y=z時，log4x+log2y+log2z取到最大值，這時log4x+log2y+log2z=

合情猜想很多老師和同學認為這個方法不嚴謹，確實有時候我們的猜想是錯誤的，但是筆者覺得其實是體現一個學生的“數感”，東北師范大學史寧中說過：直覺思維在我們的數學研究中占有非常重要的地位，很多創新都是產生于直覺.為了能鼓勵學生大膽、真實地估算，教師對估算結果的要求應該寬容一些，只要學生估算的答案在一定的合理范圍之內，就應該得到肯定.

思想上重視，行動上落實，習慣上強化，一般性的目標一定可以實現．數學估算能力的培養也是一樣，良好的數學估算意識養成，需要一個過程，而形成的關鍵是時間，因為根據科學家研究表明，一個好習慣、好意識的養成需要21天，90天的重復會形成穩定的習慣或意識，所以一個觀念，如果被別人或自己驗證21次以上，它一定會形成你的信念或意識．例如采用《好題本》(課堂和課外結合)收集好的估算題，做個有心人，那么提升數學估算能力和水平亦是指日可待.正所謂靜待花開，芬芳自來.